Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через вершину \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная плоскости \(ABC\) (рис. 10.14). Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(BC\), если \(AB = 10\) см, \(\angle BAC = 45^\circ\).
Через вершину \(A\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная плоскости треугольника \(ABC\).
Так как треугольник \(ABC\) прямоугольный с углом \(45^\circ\) при вершине \(A\), то катеты равны: \(AC = BC = x\).
По теореме Пифагора \(x^2 + x^2 = AB^2\), значит \(2x^2 = 100\), откуда \(x^2 = 50\) и \(x = 5\sqrt{2}\).
Расстояние между прямыми \(AD\) и \(BC\) равно длине \(AC\), так как \(AD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
Ответ: \(5\sqrt{2}\) см.
В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) прямой, то есть \(\angle ACB = 90^\circ\). Из условия известно, что \(\angle BAC = 45^\circ\), а длина гипотенузы \(AB\) равна 10 см. Поскольку сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), угол при вершине \(B\) также равен \(45^\circ\). Это означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным треугольником, в котором катеты \(AC\) и \(BC\) равны между собой.
Для нахождения длины катетов используем теорему Пифагора. Обозначим длину катета через \(x\). Тогда по теореме Пифагора справедливо равенство \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), что можно записать как \(x^2 + x^2 = 10^2\), или \(2x^2 = 100\). Отсюда находим \(x^2 = \frac{100}{2} = 50\), а значит \(x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Таким образом, длины катетов \(AC\) и \(BC\) равны \(5\sqrt{2}\) см.
Прямая \(AD\) проведена через вершину \(A\) и перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\). Это значит, что \(AD\) и \(BC\) — скрещивающиеся прямые, и расстояние между ними равно длине перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) на прямую \(AD\). Поскольку \(AD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), расстояние между \(AD\) и \(BC\) совпадает с длиной отрезка \(AC\), который лежит в плоскости \(ABC\) и перпендикулярен \(AD\). Следовательно, искомое расстояние равно \(5\sqrt{2}\) см.
