Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) провели к плоскости \(\alpha\) равные наклонные \(MA, MB, MC\) и \(MD\). Могут ли точки \(A, B, C\) и \(D\) быть вершинами:
1) прямоугольника;
2) ромба;
3) прямоугольной трапеции;
4) равнобокой трапеции?
Равные наклонные означают, что \(MA = MB = MC = MD\).
1) Для прямоугольника: вершины могут лежать на окружности с центром в проекции \(M\), так как диагонали равны и равны наклонные. Значит, прямоугольник возможен.
2) Для ромба: все стороны равны, а равные наклонные обеспечивают равенство расстояний от \(M\) до каждой вершины, ромб возможен.
3) Для прямоугольной трапеции: равные наклонные не гарантируют наличие прямого угла между основаниями, значит, невозможна.
4) Для равнобокой трапеции: равные наклонные могут образовывать равные боковые стороны, значит, равнобокая трапеция возможна.
Равные наклонные \(MA = MB = MC = MD\) означают, что точки \(A, B, C, D\) лежат на одной сфере с центром в точке \(M\). Проекция точки \(M\) на плоскость \(\alpha\) является центром описанной окружности для четырёхугольника \(ABCD\). Это ключевое условие, которое позволяет рассмотреть возможность существования различных типов четырёхугольников.
Для прямоугольника характерно, что его вершины лежат на окружности, а диагонали равны. Поскольку все точки \(A, B, C, D\) находятся на сфере с центром в \(M\), их проекции на плоскость \(\alpha\) могут образовывать прямоугольник. Равенство наклонных обеспечивает равенство расстояний от \(M\) до каждой вершины, что соответствует равенству диагоналей прямоугольника. Значит, прямоугольник может быть построен.
Ромб требует равенства всех сторон. Равные наклонные \(MA = MB = MC = MD\) гарантируют, что все вершины находятся на одинаковом расстоянии от точки \(M\). Если проекции этих точек на плоскость \(\alpha\) образуют равнобедренный четырёхугольник с равными сторонами, то ромб возможен. Таким образом, условие равных наклонных подходит и для ромба.
Прямоугольная трапеция требует наличие одного прямого угла между основаниями и боковой стороной. Равные наклонные не гарантируют, что угол между основаниями будет прямым, поскольку равенство наклонных не связано напрямую с углами в плоскости \(\alpha\). Поэтому прямоугольная трапеция невозможна при данном условии.
Равнобокая трапеция имеет равные боковые стороны. Равные наклонные \(MA = MB = MC = MD\) могут соответствовать равным боковым сторонам трапеции, если проекции точек \(A, B, C, D\) на плоскость \(\alpha\) образуют трапецию с равными боковыми сторонами. Таким образом, равнобокая трапеция возможна.
