ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, большую проекцию имеет большая наклонная.

Дано: наклонные \(AB\) и \(AC\) из одной точки \(A\), где \(AB > AC\).

Проведём перпендикуляр \(AH\) из точки \(A\) на плоскость. Тогда \(BH\) и \(CH\) — проекции наклонных.

В прямоугольных треугольниках \(ABH\) и \(ACH\) гипотенуза \(AB > AC\), значит угол при \(A\) у \(ABH\) больше, следовательно, проекция \(BH > CH\).

Значит, если наклонная больше, то её проекция тоже больше: \(AB > AC \Rightarrow BH > CH\).

Пусть из точки \(A\) проведены две наклонные \(AB\) и \(AC\) к плоскости, где \(AB > AC\). Проведём перпендикуляр \(AH\) из точки \(A\) на плоскость, так что точки \(B\) и \(C\) лежат на плоскости, а \(H\) — основание перпендикуляра. Тогда отрезки \(BH\) и \(CH\) будут проекциями наклонных \(AB\) и \(AC\) на плоскость.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(ACH\). В этих треугольниках \(AH\) — общий катет, а углы при \(H\) прямые, то есть \(\angle BHA = \angle CHA = 90^\circ\). По теореме Пифагора длины наклонных выражаются как \(AB^2 = AH^2 + BH^2\) и \(AC^2 = AH^2 + CH^2\). Так как \(AB > AC\), то \(AB^2 > AC^2\), значит \(AH^2 + BH^2 > AH^2 + CH^2\), откуда следует, что \(BH^2 > CH^2\), а значит \(BH > CH\).

Таким образом, если наклонная \(AB\) больше наклонной \(AC\), то и её проекция \(BH\) на плоскость будет больше проекции \(CH\). Это связано с тем, что при одинаковой высоте \(AH\) длина наклонной зависит от длины её проекции на плоскость, и большая наклонная соответствует большей проекции. Следовательно, из неравенства \(AB > AC\) следует неравенство проекций \(BH > CH\).