Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.
Пусть \( AC \) — перпендикуляр из точки \( A \) на плоскость, \( BC \) и \( DC \) — проекции наклонных \( AB \) и \( AD \) на плоскость.
Так как \( BC > DC \), то \( BC^2 > DC^2 \).
По теореме Пифагора в треугольниках \( ABC \) и \( ADC \) имеем:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) и \( AD^2 = AC^2 + DC^2 \).
Из неравенства \( BC^2 > DC^2 \) следует, что \( AB^2 > AD^2 \), значит \( AB > AD \).
Таким образом, наклонная с большей проекцией больше.
Рассмотрим точку \( A \), находящуюся вне плоскости, и две наклонные \( AB \) и \( AD \), проведённые из этой точки к плоскости. Пусть \( C \) — основание перпендикуляра из точки \( A \) на плоскость, тогда \( AC \) — перпендикуляр, а отрезки \( BC \) и \( DC \) — проекции наклонных \( AB \) и \( AD \) на плоскость соответственно. По условию, проекция \( BC \) больше проекции \( DC \), то есть \( BC > DC \).
В треугольниках \( ABC \) и \( ADC \) применим теорему Пифагора. Для наклонной \( AB \) имеем равенство \( AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \), а для наклонной \( AD \) — \( AD^{2} = AC^{2} + DC^{2} \). Поскольку \( AC \) — общий перпендикуляр для обеих наклонных, его длина одинакова в обоих случаях. Таким образом, различие в длинах наклонных зависит только от величин проекций \( BC \) и \( DC \).
Поскольку \( BC > DC \), возьмём квадраты этих величин: \( BC^{2} > DC^{2} \). Подставляя в формулы, получаем \( AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} > AC^{2} + DC^{2} = AD^{2} \). Из этого следует, что \( AB > AD \), так как длина наклонной равна положительному корню из суммы квадратов. Следовательно, наклонная, у которой проекция на плоскость больше, является большей по длине.
