Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(AB\) и \(AC\) длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как 5 : 2.
Пусть \( AH \) — расстояние от точки \( A \) до плоскости \(\alpha\), \( BH = 5x \), \( CH = 2x \), \( AB = 25 \), \( AC = 17 \).
По теореме Пифагора:
\( AB^{2} = AH^{2} + BH^{2} \),
\( AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} \).
Подставляем:
\( 625 = AH^{2} + 25x^{2} \),
\( 289 = AH^{2} + 4x^{2} \).
Вычитаем второе уравнение из первого:
\( 625 — 289 = 25x^{2} — 4x^{2} \),
\( 336 = 21x^{2} \),
\( x^{2} = \frac{336}{21} = 16 \),
\( x = 4 \).
Подставляем в второе уравнение:
\( 289 = AH^{2} + 4 \times 16 \),
\( AH^{2} = 289 — 64 = 225 \),
\( AH = 15 \).
Ответ: расстояние \( AH = 15 \) см.
Рассмотрим задачу, в которой дана точка \( A \) и плоскость \(\alpha\), а также две наклонные \( AB \) и \( AC \), исходящие из точки \( A \) и опирающиеся на плоскость \(\alpha\). Чтобы найти расстояние от точки \( A \) до плоскости \(\alpha\), нам нужно определить длину перпендикуляра, опущенного из точки \( A \) на плоскость. Обозначим эту длину через \( AH \), где \( H \) — проекция точки \( A \) на плоскость \(\alpha\). Из условия известно, что проекция наклонной \( AB \) на плоскость равна \( 5x \), проекция наклонной \( AC \) — \( 2x \), а длины наклонных составляют \( AB = 25 \) см и \( AC = 17 \) см. При этом \( x \) — некоторое положительное число, которое нужно определить.
Для решения задачи применим теорему Пифагора к двум прямоугольным треугольникам, образованным наклонными и их проекциями на плоскость. В треугольнике \( ABH \), где \( AH \) — высота, а \( BH \) — проекция наклонной \( AB \), по теореме Пифагора справедливо равенство \( AB^{2} = AH^{2} + BH^{2} \). Аналогично, в треугольнике \( ACH \) получаем \( AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} \), где \( CH \) — проекция наклонной \( AC \). Подставляя известные значения, получаем два уравнения: \( 25^{2} = AH^{2} + (5x)^{2} \) и \( 17^{2} = AH^{2} + (2x)^{2} \), что эквивалентно \( 625 = AH^{2} + 25x^{2} \) и \( 289 = AH^{2} + 4x^{2} \).
Для нахождения \( x \) избавимся от неизвестного \( AH^{2} \), вычтя второе уравнение из первого: \( 625 — 289 = (AH^{2} + 25x^{2}) — (AH^{2} + 4x^{2}) \). Это упрощается до \( 336 = 21x^{2} \). Разделив обе части на 21, получаем \( x^{2} = \frac{336}{21} = 16 \), откуда \( x = 4 \), так как \( x \) положительно. Теперь, зная \( x \), подставим его обратно в одно из исходных уравнений, например, во второе: \( 289 = AH^{2} + 4 \times 16 \), что даёт \( 289 = AH^{2} + 64 \). Отсюда \( AH^{2} = 225 \), и, следовательно, \( AH = \sqrt{225} = 15 \) см. Таким образом, расстояние от точки \( A \) до плоскости \(\alpha\) равно 15 см.
