Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(D\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(DA\) и \(DB\), сумма которых равна 28 см. Найдите эти наклонные, если их проекции на плоскость \(\alpha\) равны соответственно 9 см и 5 см.
Пусть \(DA = x\), тогда \(DB = 28 — x\).
По теореме Пифагора для треугольника с наклонной \(DA\): \(x^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81\).
Для наклонной \(DB\): \((28 — x)^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25\).
Приравниваем выражения для \(h^2\): \(x^2 — 81 = (28 — x)^2 — 25\).
Раскрываем скобки и упрощаем: \(x^2 — 81 = 784 — 56x + x^2 — 25\).
Сокращаем \(x^2\): \(-81 = 759 — 56x\).
Переносим числа: \(56x = 759 + 81 = 840\).
Находим \(x = \frac{840}{56} = 15\).
Тогда \(DA = 15\) см, \(DB = 28 — 15 = 13\) см.
Пусть длина наклонной \(DA\) равна \(x\), тогда длина наклонной \(DB\) будет равна \(28 — x\), так как сумма этих двух отрезков равна 28 см. Для нахождения \(x\) и \(28 — x\) воспользуемся теоремой Пифагора, учитывая, что высота \(DH\), проведённая из точки \(D\) перпендикулярно к плоскости \alpha, общая для обоих треугольников \(DHA\) и \(DHB\).
Для треугольника \(DHA\) по теореме Пифагора имеем: \(DA^{2} = DH^{2} + AH^{2}\), то есть \(x^{2} = h^{2} + 9^{2} = h^{2} + 81\). Здесь \(h\) — высота, а 9 см — проекция наклонной \(DA\) на плоскость \alpha. Аналогично для треугольника \(DHB\) получаем: \(DB^{2} = DH^{2} + BH^{2}\), то есть \((28 — x)^{2} = h^{2} + 5^{2} = h^{2} + 25\), где 5 см — проекция наклонной \(DB\) на плоскость \alpha.
Приравнивая выражения для \(h^{2}\) из двух уравнений, получаем: \(x^{2} — 81 = (28 — x)^{2} — 25\). Раскрываем скобки и упрощаем: \(x^{2} — 81 = 784 — 56x + x^{2} — 25\). Сокращаем \(x^{2}\) с обеих сторон, остается: \(-81 = 759 — 56x\). Переносим числа в одну сторону: \(56x = 759 + 81 = 840\). Решаем уравнение: \(x = \frac{840}{56} = 15\). Значит, длина наклонной \(DA\) равна 15 см, а длина наклонной \(DB\) равна \(28 — 15 = 13\) см.
