Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(MN\) и \(MK\), образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по 60°. Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен 90°, а расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно \(\sqrt{3}\) см.
Из треугольника \(MNU\) по определению синуса: \(\sin 60^\circ = \frac{MU}{MN}\), значит \(MN = \frac{MU}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\). Аналогично \(MK = 2\).
Так как угол между наклонными \(MN\) и \(MK\) равен \(90^\circ\), то по теореме Пифагора \(NK^2 = MN^2 + MK^2 = 4 + 4 = 8\), откуда \(NK = \sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}\).
Ответ: \(NK = 2 \cdot \sqrt{2}\) см.
Точка \(M\) находится на расстоянии \(MU = \sqrt{3}\) см от плоскости \(\alpha\), где \(MU\) — перпендикуляр к плоскости. Наклонные \(MN\) и \(MK\) образуют с их проекциями на плоскость углы по \(60^\circ\). По определению угла наклона, синус этого угла равен отношению длины перпендикуляра к длине наклонной, то есть \(\sin 60^\circ = \frac{MU}{MN}\). Подставляя известные значения, получаем \(MN = \frac{MU}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\) см. Аналогично для наклонной \(MK\) длина равна \(2\) см, так как условия одинаковы.
Угол между наклонными \(MN\) и \(MK\) равен \(90^\circ\), то есть они взаимно перпендикулярны. Рассмотрим треугольник \(NMK\), в котором стороны \(MN\) и \(MK\) являются катетами, а искомый отрезок \(NK\) — гипотенузой. По теореме Пифагора длина гипотенузы выражается как \(NK^2 = MN^2 + MK^2\). Подставляя значения, получаем \(NK^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\). Следовательно, длина отрезка \(NK\) равна \(NK = \sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}\) см.
Таким образом, исходя из геометрических свойств наклонных и перпендикуляра, а также из условия прямого угла между наклонными, мы нашли длину отрезка между основаниями наклонных на плоскости. Итоговый ответ: \(NK = 2 \cdot \sqrt{2}\) см.
