Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(AB\) и \(AC\), образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по 30°. Найдите данные наклонные и расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), если угол между проекциями наклонных равен 90°, а расстояние между основаниями наклонных равно 6 см.
Из прямоугольного треугольника \(BHC\) по теореме Пифагора: \(BH^2 + CH^2 = BC^2 = 6^2 = 36\).
Пусть \(AB = AC = x\). Тогда \(BH = CH = x \cos 30^\circ = x \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставляем: \(2 \left(x \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 36 \Rightarrow 2 \cdot x^2 \frac{3}{4} = 36 \Rightarrow \frac{3}{2} x^2 = 36 \Rightarrow x^2 = \frac{36 \cdot 2}{3} = 24 \Rightarrow x = 2 \sqrt{6}\).
Высота \(AH = AB \sin 30^\circ = 2 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6}\).
Ответ: \(AB = AC = 2 \sqrt{6}\), \(AH = \sqrt{6}\).
В задаче даны две наклонные \(AB\) и \(AC\), проведённые из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\), с основаниями в точках \(B\) и \(C\). Известно, что углы между наклонными и их проекциями равны 30°, а угол между проекциями равен 90°. Расстояние между основаниями \(B\) и \(C\) равно 6 см. Для решения сначала рассмотрим треугольник \(BHC\), где \(H\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(\alpha\), а \(BH\) и \(CH\) — проекции наклонных на плоскость.
Треугольник \(BHC\) прямоугольный, так как угол между проекциями равен 90°, значит по теореме Пифагора справедливо равенство \(BH^{2} + CH^{2} = BC^{2}\). Подставляя известное значение \(BC = 6\), получаем уравнение \(BH^{2} + CH^{2} = 36\). Далее, поскольку углы между наклонными и их проекциями равны 30°, в треугольниках \(ABH\) и \(ACH\) можно записать равенства \(BH = AB \cos 30^\circ\) и \(CH = AC \cos 30^\circ\). По условию и симметрии наклонные равны, следовательно \(AB = AC = x\), и тогда \(BH = CH = x \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставим эти выражения в уравнение Пифагора: \(2 \left(x \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 36\). Раскроем скобки и возведём в степень: \(2 \cdot x^{2} \cdot \frac{3}{4} = 36\), что упрощается до \(\frac{3}{2} x^{2} = 36\). Отсюда найдём \(x^{2} = \frac{36 \cdot 2}{3} = 24\), а значит \(x = 2 \sqrt{6}\). Таким образом, длины наклонных равны \(AB = AC = 2 \sqrt{6}\).
Для определения высоты \(AH\), то есть расстояния от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), используем соотношение в треугольнике \(ABH\). Высота равна \(AH = AB \sin 30^\circ\), так как угол между наклонной и её проекцией равен 30°. Подставляя найденное значение \(AB = 2 \sqrt{6}\), получаем \(AH = 2 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6}\). Итоговые результаты: наклонные равны \(2 \sqrt{6}\) см, а расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(\sqrt{6}\) см.
