ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) находится на расстоянии 6 см от каждой вершины правильного треугольника \(ABC\), сторона которого равна 9 см. Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\).

Дано правильный треугольник со стороной \( edB = 9 \) см и точка \( M \), удалённая на 6 см от каждой вершины.

Медиана \( edO = \frac{edB \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \) см.

Расстояние \( MO \) от точки \( M \) до плоскости \( ABC \) вычисляется по теореме Пифагора:

\( MO = \sqrt{6^2 — (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{36 — 27} = \sqrt{9} = 3 \) см.

Ответ: \( MO = 3 \) см.

Рассмотрим правильный треугольник с длиной стороны \( edB = 9 \) см. В правильном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, и длина медианы вычисляется по формуле \( edO = \frac{edB \sqrt{3}}{2} \). Подставляя значение стороны, получаем \( edO = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \), что равно \( 3 \sqrt{3} \) см. Эта медиана соединяет вершину треугольника с центром \( O \), который является точкой пересечения медиан и центром вписанной окружности.

Точка \( M \) по условию находится на расстоянии 6 см от каждой вершины треугольника. Это значит, что расстояния \( MA \), \( MB \) и \( MC \) равны 6 см. Поскольку \( O \) — центр треугольника, а \( M \) удалена от вершин на одинаковое расстояние, можно рассматривать треугольник \( MOC \), где \( MC = 6 \) см, а \( CO = edO = 3 \sqrt{3} \) см. Здесь \( MO \) — перпендикуляр, который нужно найти.

Используя теорему Пифагора в треугольнике \( MOC \), вычисляем \( MO \) как \( MO = \sqrt{MC^{2} — CO^{2}} = \sqrt{6^{2} — (3 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 — 27} = \sqrt{9} = 3 \) см. Таким образом, расстояние от точки \( M \) до центра \( O \) равно 3 см.