Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Катеты прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) равны 6 см и 8 см. Точка \(D\) удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) катеты равны \(AC = 6\) и \(CB = 8\). По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\).
Точка \(D\) удалена от всех вершин на 13, значит \(DA = DB = DC = 13\).
Пусть \(H\) — проекция точки \(D\) на плоскость \(ABC\). Тогда \(DH\) — искомое расстояние.
Из равенства расстояний и свойства проекции следует, что \(AH = HB = 5\).
Используем теорему Пифагора для треугольника \(DHA\): \(DH^2 + AH^2 = DA^2\), то есть \(DH^2 + 5^2 = 13^2\).
Отсюда \(DH = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\).
Ответ: \(12\) сантиметров.
В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) прямой, поэтому по теореме Пифагора длина гипотенузы \(AB\) равна корню из суммы квадратов катетов: \(AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\). Это важно, так как точка \(D\), удалённая от всех трёх вершин на одинаковое расстояние 13, должна находиться вне плоскости треугольника, образуя с ней некоторую высоту.
Пусть \(H\) — проекция точки \(D\) на плоскость треугольника \(ABC\). Тогда \(DH\) — это искомое расстояние от точки \(D\) до плоскости. Поскольку \(D\) равноудалена от всех вершин, то расстояния от \(H\) до вершин \(A\), \(B\) и \(C\) связаны с расстояниями \(DA\), \(DB\), \(DC\) и высотой \(DH\) через теорему Пифагора в трёхмерном пространстве: \(DA^2 = DH^2 + AH^2\), \(DB^2 = DH^2 + BH^2\), \(DC^2 = DH^2 + CH^2\).
Из условия \(DA = DB = DC = 13\) и симметрии треугольника следует, что точки \(H\) лежит на отрезке \(AB\) и \(AH = HB\). Поскольку \(AB = 10\), то \(AH = HB = 5\). Подставляя в уравнение для \(DA\), получаем \(13^2 = DH^2 + 5^2\), откуда \(DH^2 = 169 — 25 = 144\), и, следовательно, \(DH = \sqrt{144} = 12\). Таким образом, расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 12 сантиметрам.
