Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) равноудалена от вершин треугольника \(ABC\) и удалена от плоскости \(ABC\) на расстояние \(d\). Найдите расстояние от точки \(M\) до вершин данного треугольника, если \(BC = a\), \(\angle BAC = \alpha\).
Точка \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), тогда \(AO = \frac{a}{2 \sin \alpha}\).
Расстояние \(MO = d\).
По теореме Пифагора в треугольнике \(MAO\) имеем \(MA^2 = MO^2 + AO^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2\).
Следовательно, \(MA = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}\).
Точка \(M\) равнодалена от всех вершин треугольника \(ABC\), то есть \(MA = MB = MC\). Такая точка находится на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через центр вписанной окружности \(O\). Центр \(O\) лежит внутри треугольника и является точкой пересечения биссектрис углов. Расстояние от \(M\) до плоскости \(ABC\) равно \(d\), а расстояние от \(O\) до вершины \(A\) можно выразить через сторону \(BC = a\) и угол \(\alpha = \angle BAC\).
Расстояние \(AO\) — радиус вписанной окружности, который равен \( \frac{a}{2 \sin \alpha} \). Это связано с тем, что \(O\) лежит на биссектрисе угла \(A\), а длина отрезка \(AO\) определяется через сторону \(a\) и угол \(\alpha\) по формуле для радиуса вписанной окружности, учитывая, что \(O\) — центр окружности, касающейся всех сторон треугольника.
Поскольку \(M\) находится на перпендикуляре к плоскости через \(O\), образуется прямоугольный треугольник \(MAO\), в котором катеты равны \(MO = d\) и \(AO = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). По теореме Пифагора длина гипотенузы \(MA\) равна \( \sqrt{d^{2} + \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^{2}} \), то есть \(MA = \sqrt{d^{2} + \frac{a^{2}}{4 \sin^{2} \alpha}} \). Таким образом, расстояние от точки \(M\) до вершины \(A\) выражается через расстояние \(d\), сторону \(a\) и угол \(\alpha\).
