Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см, \(AC = 8\) см. Точка \(D\) расположена на расстоянии \(5\sqrt{5}\) см от каждой вершины треугольника \(ABC\). Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
В треугольнике \(ABC\) по теореме косинусов вычисляем \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5}\).
Вычисляем \(\sin \angle ABC = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\).
Находим проекцию \(AO = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4}{5}} = 5\).
Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно \(DO = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 — 5^2} = \sqrt{125 — 25} = 10\) см.
Ответ: 10 см.
В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) и \(AC = 8\). Для нахождения угла при вершине \(B\) используем теорему косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\). Подставляя значения, получаем \(8^2 = (4\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 — 2 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \cos \angle ABC\), что упрощается до \(64 = 80 + 80 — 160 \cdot \cos \angle ABC\), откуда следует \(160 \cdot \cos \angle ABC = 96\), значит \(\cos \angle ABC = \frac{96}{160} = \frac{3}{5}\).
Далее находим синус угла \(\angle ABC\) по формуле \(\sin \angle ABC = \sqrt{1 — \cos^2 \angle ABC} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\). Этот синус необходим для вычисления высоты в треугольнике, а именно длины отрезка \(AO\), где \(O\) — проекция точки \(D\) на плоскость треугольника. Используем формулу для длины высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AC\): \(AO = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{8}{\frac{8}{5}} = 5\).
Точка \(D\) удалена от всех вершин треугольника на одинаковое расстояние \(5\sqrt{5}\). Чтобы найти расстояние от \(D\) до плоскости \(ABC\), вычисляем высоту \(DO\) в прямоугольном треугольнике \(ADO\), где \(AD = 5\sqrt{5}\), а \(AO = 5\). По теореме Пифагора имеем \(DO = \sqrt{AD^2 — AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 — 5^2} = \sqrt{125 — 25} = \sqrt{100} = 10\). Таким образом, расстояние от точки \(D\) до плоскости треугольника \(ABC\) равно 10 см.
