Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вершина \(A\) треугольника \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а сторона \(BC\) параллельна плоскости \(\alpha\). Из точек \(B\) и \(C\) опущены на плоскость \(\alpha\) перпендикуляры \(BB_1\) и \(CC_1\). Проекция отрезка \(AB\) на плоскость \(\alpha\) равна 14 см, а проекция отрезка \(AC\) — \(3\sqrt{5}\) см. Найдите сторону \(BC\), если \(BB_1 = 2\) см, \(\angle BAC = 45^\circ\).
Проекция \(AB\) на плоскость равна \(\sqrt{14}\), высота \(BB_1 = 2\), значит \(AB = \sqrt{(\sqrt{14})^2 + 2^2} = \sqrt{14 + 4} = 3\sqrt{2}\).
Проекция \(AC\) равна \(3\sqrt{5}\), высота \(CC_1 = 2\), значит \(AC = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{45 + 4} = 7\).
Используем теорему косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = 18 + 49 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\)
\(= 67 — 42 = 25\).
Следовательно, \(BC = 5\).
В треугольнике \(ABC\) точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), а сторона \(BC\) параллельна этой плоскости. Из точек \(B\) и \(C\) опущены перпендикуляры на плоскость \(\alpha\), длины которых равны \(BB_1 = 2\) и \(CC_1 = 2\). Проекции отрезков \(AB\) и \(AC\) на плоскость \(\alpha\) равны соответственно \(\sqrt{14}\) и \(3\sqrt{5}\). Для нахождения длины \(BC\) сначала найдём истинные длины отрезков \(AB\) и \(AC\), используя теорему Пифагора в трёхмерном пространстве.
Длина \(AB\) вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами проекции \(AB\) на плоскость \(\alpha\) и высоты \(BB_1\). Следовательно, \(AB = \sqrt{(\sqrt{14})^{2} + 2^{2}} = \sqrt{14 + 4} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Аналогично длина \(AC\) равна \(AC = \sqrt{(3\sqrt{5})^{2} + 2^{2}} = \sqrt{45 + 4} = \sqrt{49} = 7\).
Теперь, зная длины сторон \(AB\) и \(AC\), а также угол между ними \(\angle BAC = 45^\circ\), применим теорему косинусов для нахождения длины \(BC\). Формула будет выглядеть так: \(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ\). Подставляя значения, получаем \(BC^{2} = (3\sqrt{2})^{2} + 7^{2} — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 + 49 — 42 = 25\). Следовательно, длина стороны \(BC\) равна \(BC = \sqrt{25} = 5\).
