Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через вершину \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена плоскость \(\beta\), параллельная прямой \(AC\). Найдите проекцию гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\), если \(BC = 20\) см, \(AC = 15\) см, а проекция катета \(BC\) на эту плоскость равна 12 см.
Дано: \(BC=20\), \(AC=15\), проекция \(BC\) на плоскость \(\beta\) равна 12.
Найдем длину отрезка \(CC_1\), где \(C_1\) — проекция \(C\) на плоскость \(\beta\): \(CC_1 = \sqrt{BC^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = 16\).
Вычислим гипотенузу \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{225 + 400} = 25\).
Проекция гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\) равна \(AB_1 = \sqrt{AB^2 — CC_1^2} = \sqrt{625 — 256} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\).
Ответ: \(3\sqrt{41}\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) даны катеты \(AC = 15\) и \(BC = 20\). Плоскость \(\beta\) проходит через точку \(B\) и параллельна прямой \(AC\). Проекция катета \(BC\) на плоскость \(\beta\) равна 12. Чтобы найти проекцию гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\), сначала рассмотрим, как связаны длины отрезков и их проекции.
Проекция отрезка \(BC\) на плоскость \(\beta\) — это отрезок \(BC_1\), где \(C_1\) — проекция точки \(C\) на эту плоскость. По теореме Пифагора в треугольнике \(BCC_1\) длина перпендикуляра \(CC_1\) равна \(CC_1 = \sqrt{BC^{2} — BC_1^{2}} = \sqrt{20^{2} — 12^{2}} = \sqrt{400 — 144} = 16\). Это означает, что точка \(C\) находится на расстоянии 16 от плоскости \(\beta\).
Далее вычислим длину гипотенузы \(AB\) треугольника \(ABC\) по формуле \(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = \sqrt{225 + 400} = 25\). Теперь, чтобы найти проекцию гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\), рассмотрим треугольник \(ABB_1\), где \(B_1\) — проекция точки \(B\) на плоскость \(\beta\). Поскольку плоскость \(\beta\) проходит через точку \(B\), то \(BB_1 = 0\), а высота от точки \(A\) до плоскости равна \(CC_1 = 16\), так как плоскость параллельна \(AC\).
Проекция гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\) равна длине отрезка \(AB_1\), где \(AB_1 = \sqrt{AB^{2} — CC_1^{2}} = \sqrt{25^{2} — 16^{2}} = \sqrt{625 — 256} = \sqrt{369} = 3 \cdot \sqrt{41}\). Таким образом, проекция гипотенузы на плоскость \(\beta\) составляет \(3 \cdot \sqrt{41}\), что и является искомым ответом.
