Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона \(AD\) ромба \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\). Прямая \(BC\) удалена от плоскости \(\alpha\) на 3 см. Найдите проекции на плоскость \(\alpha\) отрезков \(CD\), \(AC\) и \(BD\), если \(AC = 8\) см, \(BD = 6\) см.
Дано: ромб \(ABCD\), \(AD\) лежит в плоскости \(\alpha\), расстояние от \(BC\) до \(\alpha\) равно 3 см, \(AC=8\) см, \(BD=6\) см.
Половина диагоналей: \(AO=OC=\frac{8}{2}=4\) см, \(BO=OD=\frac{6}{2}=3\) см.
Длина \(CB = \sqrt{4^2+3^2} = 5\) см.
Проекция \(CD\) на \(\alpha\) равна \(CO=4\) см.
Проекция \(AC\) на \(\alpha\) равна \(\sqrt{8^2 — 3^2} = \sqrt{55}\) см.
Проекция \(BD\) на \(\alpha\) равна \(\sqrt{6^2 — 3^2} = 3\sqrt{3}\) см.
Ромб \(ABCD\) имеет диагонали \(AC\) и \(BD\), которые пересекаются в точке \(O\). Поскольку \(O\) — середина обеих диагоналей, то \(AO = OC = \frac{AC}{2}\) и \(BO = OD = \frac{BD}{2}\). При заданных длинах диагоналей \(AC = 8\) см и \(BD = 6\) см получаем \(AO = OC = 4\) см и \(BO = OD = 3\) см. Эти значения важны для нахождения проекций отрезков на плоскость \(\alpha\).
Из условия известно, что сторона \(AD\) лежит в плоскости \(\alpha\), а расстояние от прямой \(BC\) до плоскости \(\alpha\) равно 3 см. Это означает, что прямая \(BC\) расположена параллельно плоскости \(\alpha\) на расстоянии 3 см. Рассмотрим треугольник \(B O C\), где \(BO = 3\) см и \(CO = 4\) см. Длина отрезка \(BC\) равна \(BC = \sqrt{BO^{2} + CO^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\) см. Теперь рассмотрим проекции диагоналей и стороны ромба на плоскость \(\alpha\).
Проекция отрезка \(CD\) на плоскость \(\alpha\) равна длине \(CO\), так как \(CD\) перпендикулярен плоскости и его проекция — это основание перпендикуляра, то есть \(CO = 4\) см. Для диагонали \(AC\), которая пересекает плоскость под углом, проекция вычисляется по формуле: \(\text{пр}_\alpha AC = \sqrt{AC^{2} — d^{2}}\), где \(d = 3\) см — расстояние от \(BC\) до плоскости. Следовательно, \(\text{пр}_\alpha AC = \sqrt{8^{2} — 3^{2}} = \sqrt{64 — 9} = \sqrt{55}\) см. Аналогично для диагонали \(BD\), проекция равна \(\text{пр}_\alpha BD = \sqrt{BD^{2} — d^{2}} = \sqrt{6^{2} — 3^{2}} = \sqrt{36 — 9} = 3\sqrt{3}\) см. Таким образом, получаем проекции всех заданных отрезков на плоскость \(\alpha\).
