ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины \(A\) и \(B\) прямоугольника \(ABCD\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а вершины \(C\) и \(D\) не принадлежат этой плоскости. Найдите расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\), если \(AB = 5\) см, \(BC = 12\) см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость \(\alpha\) равна \(2\sqrt{22}\) см.

Длина диагонали прямоугольника \(BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\) см.

Проекция диагонали на плоскость \(\alpha\) равна \(BU = 2\sqrt{22}\) см.

Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(\alpha\) вычисляется по формуле \(DU = \sqrt{BD^2 — BU^2} = \sqrt{13^2 — (2\sqrt{22})^2} = \sqrt{169 — 88} = 9\) см.

Ответ: 9 см.

Для начала найдем длину диагонали прямоугольника \(BD\), используя теорему Пифагора. Известно, что стороны прямоугольника равны \(AB = 5\) см и \(BC = 12\) см, следовательно, диагональ \(BD\) вычисляется по формуле \(BD = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) см. Это стандартное свойство прямоугольника: диагональ равна корню из суммы квадратов его смежных сторон.

Далее нам известна проекция диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\), которая равна \(BU = 2 \sqrt{22}\) см. Проекция — это длина отрезка на плоскости, соответствующая теневой длине диагонали, если смотреть перпендикулярно к плоскости. Так как точка \(D\) находится вне плоскости, то отрезок \(DU\) является перпендикуляром от точки \(D\) к плоскости \(\alpha\). Таким образом, треугольник \(BDU\) является прямоугольным с гипотенузой \(BD\) и катетами \(BU\) и \(DU\).

Чтобы найти расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\), нужно найти длину перпендикуляра \(DU\). По теореме Пифагора в треугольнике \(BDU\) это расстояние равно \(DU = \sqrt{BD^{2} — BU^{2}} = \sqrt{13^{2} — (2 \sqrt{22})^{2}} = \sqrt{169 — 4 \cdot 22} = \sqrt{169 — 88} =\)
\(= \sqrt{81} = 9\) см. Таким образом, расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\) равно 9 см.