Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Найдите расстояние между прямыми \(B_1D_1\) и \(AA_1\).
Рассмотрим куб с ребром \(a\). Прямые \(AA_1\) и \(B_1D_1\) заданы в пространстве.
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу \(d = \frac{|(\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}\), где \(\vec{v}_1\) и \(\vec{v}_2\) — направляющие векторы прямых, а \(\overrightarrow{P_1P_2}\) — вектор между точками на этих прямых.
Направляющие векторы: \(\vec{v}_1 = (0,0,a)\), \(\vec{v}_2 = (-a,a,0)\). Вектор между точками: \(\overrightarrow{P_1P_2} = (a,0,a)\).
Вычисляем векторное произведение: \(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (-a^2,-a^2,0)\), его длина равна \(a^2 \sqrt{2}\).
Скалярное произведение: \(\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = -a^3\).
Подставляем в формулу:
\(d = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).
Ответ: \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
Рассмотрим куб с ребром \(a\). В нём есть две прямые: \(AA_1\), проходящая вдоль ребра, соединяющего вершины \(A\) и \(A_1\), и \(B_1D_1\), соединяющая вершины \(B_1\) и \(D_1\). Чтобы найти расстояние между этими двумя прямыми, которые не пересекаются и не параллельны, нужно воспользоваться формулой расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве. Для этого необходимо определить направляющие векторы этих прямых и вектор, соединяющий точки на каждой из них.
Выберем систему координат так, чтобы вершина \(A\) имела координаты \((0,0,0)\), тогда вершина \(A_1\) будет в точке \((0,0,a)\). Аналогично вершины \(B_1\) и \(D_1\) будут иметь координаты \((a,0,a)\) и \((0,a,a)\) соответственно. Направляющий вектор прямой \(AA_1\) равен \(\vec{v}_1 = (0,0,a)\), так как она идёт вдоль оси \(z\). Для прямой \(B_1D_1\) направляющий вектор \(\vec{v}_2 = D_1 — B_1 = (-a,a,0)\), так как она лежит в плоскости \(z = a\) и направлена в сторону от \(B_1\) к \(D_1\).
Далее находим вектор, соединяющий точку \(A\) на первой прямой и точку \(B_1\) на второй, это вектор \(\overrightarrow{P_1P_2} = (a,0,a)\). Теперь вычислим векторное произведение направляющих векторов: \(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (-a^2, -a^2, 0)\). Его длина равна \(a^2 \sqrt{2}\). Скалярное произведение вектора \(\overrightarrow{P_1P_2}\) с этим векторным произведением равно \(-a^3\). Подставляя в формулу расстояния \(d = \frac{|(\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}\), получаем \(d = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Это и есть искомое расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(B_1D_1\).
