Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точки \(O\) и \(O_1\) — центры соответственно граней \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) куба. Найдите расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\).
Дано ребро куба \(a\). Точки \(O\) и \(O_1\) — центры граней основания и верхней грани, тогда \(O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\), \(O_1 = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)\).
Вектор \(CD = (-a, 0, 0)\), вектор \(OO_1 = (0, 0, a)\).
Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле \(d = \frac{|(\mathbf{q} — \mathbf{p}) \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})|}{|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|}\).
Вычисляем векторное произведение \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (0, a^2, 0)\).
Вектор между точками \(C\) и \(O\) равен \(\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)\).
Подставляем в формулу: \(d = \frac{\left| \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) \cdot (0, a^2, 0) \right|}{\sqrt{0^2 + (a^2)^2 + 0^2}} = \frac{\left| -\frac{a}{2} \cdot a^2 \right|}{a^2} = \frac{a}{2}\).
Ответ: расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\) равно \(\frac{a}{2}\).
Куб задан ребром длины \(a\). Рассмотрим нижнюю грань куба \(ABCD\) и верхнюю грань \(A_1B_1C_1D_1\). Точка \(O\) — центр нижней грани, значит её координаты находятся посередине по сторонам квадрата основания: \(O = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right)\). Аналогично, точка \(O_1\) — центр верхней грани, расположена на том же месте в плоскости \(xy\), но на высоте \(a\), то есть \(O_1 = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a \right)\). Таким образом, прямая \(OO_1\) направлена вдоль оси \(z\) и проходит через точку с координатами \(\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)\) в плоскости основания.
Рассмотрим прямую \(CD\). Точка \(C\) имеет координаты \(C = (a, a, 0)\), а точка \(D = (0, a, 0)\). Вектор, направленный вдоль ребра \(CD\), равен \(\overrightarrow{CD} = D — C = (-a, 0, 0)\). Этот вектор лежит в плоскости основания и направлен вдоль оси \(x\) в обратную сторону. Прямая \(OO_1\) направлена вдоль оси \(z\) с вектором \(\overrightarrow{OO_1} = (0, 0, a)\). Таким образом, у нас есть две прямые, которые не параллельны и не пересекаются — они скрещиваются.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти по формуле \(d = \frac{|(\mathbf{q} — \mathbf{p}) \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})|}{|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|}\), где \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\) — точки на соответствующих прямых, а \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) — направляющие векторы этих прямых. Выберем точку \(C\) на прямой \(CD\) и точку \(O\) на прямой \(OO_1\). Тогда вектор между этими точками \(\mathbf{q} — \mathbf{p} = O — C = \left( \frac{a}{2} — a, \frac{a}{2} — a, 0 — 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0 \right)\).
Вычислим векторное произведение направляющих векторов: \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-a, 0, 0) \times (0, 0, a)\). По правилу вычисления векторного произведения получаем \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (0, a^2, 0)\). Модуль этого вектора равен \(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{0^2 + a^4 + 0^2} = a^2\).
Подставляем значения в формулу расстояния: \(d = \frac{\left| \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0 \right) \cdot (0, a^2, 0) \right|}{a^2} = \frac{\left| -\frac{a}{2} \cdot a^2 \right|}{a^2} = \frac{\frac{a^3}{2}}{a^2} = \frac{a}{2}\).
Ответ: расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\) равно \(\frac{a}{2}\).
