Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MH\) и наклонные \(MA\) и \(MB\) так, что \(\angle MAH = 30^\circ\), \(\angle MBH = 45^\circ\), а угол между проекциями наклонных равен 90°. Найдите косинус угла между данными наклонными.
Дано: \(\angle MAH = 30^\circ\), \(\angle MBH = 45^\circ\), \(\angle AHB = 90^\circ\).
Пусть \(MH = 1\). Тогда \(MA = \frac{2}{\sqrt{3}}\), \(MB = \sqrt{2}\).
Вычисляем проекции: \(AH = MA \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(BH = MB \sin 45^\circ = 1\).
Длина \(AB\): \(AB^2 = AH^2 + BH^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\).
Косинус угла между наклонными: \(\cos \angle AMB = \frac{MA^2 + MB^2 — AB^2}{2 MA MB} = \frac{\frac{4}{3} + 2 — \frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).
Дано, что угол между наклонной MA и перпендикуляром MH равен 30 градусов, то есть \(\angle MAH = 30^\circ\), а угол между наклонной MB и тем же перпендикуляром MH равен 45 градусов, то есть \(\angle MBH = 45^\circ\). Также известно, что угол между проекциями наклонных на плоскость, то есть \(\angle AHB\), равен 90 градусов. Нужно найти косинус угла между наклонными \(MA\) и \(MB\), то есть \(\cos \angle AMB\).
Для удобства примем длину перпендикуляра \(MH\) за единицу, то есть \(MH = 1\). Из условия \(\angle MAH = 30^\circ\) следует, что \(MH = MA \cos 30^\circ\), откуда \(MA = \frac{MH}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\). Аналогично из условия \(\angle MBH = 45^\circ\) имеем \(MH = MB \cos 45^\circ\), откуда \(MB = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}\). Таким образом, мы нашли длины наклонных \(MA = \frac{2}{\sqrt{3}}\) и \(MB = \sqrt{2}\).
Теперь найдем длины проекций наклонных на плоскость, то есть отрезков \(AH\) и \(BH\). Для этого используем формулы \(AH = MA \sin 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(BH = MB \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\). Поскольку угол между проекциями \(AH\) и \(BH\) равен 90 градусов, длина отрезка \(AB\) вычисляется по теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\).
Для нахождения косинуса угла между наклонными используем теорему косинусов в треугольнике \(AMB\): \(\cos \angle AMB = \frac{MA^2 + MB^2 — AB^2}{2 \cdot MA \cdot MB}\). Подставляем найденные значения: \(MA^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}\), \(MB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\), \(AB^2 = \frac{4}{3}\). Тогда \(\cos \angle AMB = \frac{\frac{4}{3} + 2 — \frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).
