Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(AO\) и наклонные \(AB\) и \(AC\) так, что \(\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ\), а косинус угла между наклонными равен \(\frac{1}{4}\). Найдите угол между проекциями данных наклонных.
Из условия \(\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ\), значит \(AO \perp \alpha\), а \(AB = AC = \frac{AO}{\cos 45^\circ} = \sqrt{2}\).
Пусть \(BO = OC = 1\).
Длина проекции \(BC\) найдётся через теорему косинусов в треугольнике \(ABC\):
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = 2 + 2 — 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 3\),
откуда \(BC = \sqrt{3}\).
В треугольнике \(BOC\) по теореме косинусов:
\(BC^2 = BO^2 + OC^2 — 2 \cdot BO \cdot OC \cdot \cos \angle BOC\),
то есть
\(3 = 1 + 1 — 2 \cdot \cos \angle BOC\),
следовательно
\(\cos \angle BOC = -\frac{1}{2}\).
Угол между проекциями \(\angle BOC = 120^\circ\).
Из условия задачи известно, что \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\), и что углы между наклонными \(AB\) и \(AC\) и перпендикуляром \(AO\) равны \(45^\circ\). Это значит, что треугольники \(ABO\) и \(ACO\) прямоугольные с углами при вершинах \(B\) и \(C\) соответственно по \(45^\circ\). Следовательно, длины наклонных \(AB\) и \(AC\) связаны с длиной перпендикуляра \(AO\) соотношением \(AB = AC = \frac{AO}{\cos 45^\circ} = AO \cdot \sqrt{2}\). Для удобства принимаем \(AO = 1\), тогда \(AB = AC = \sqrt{2}\), а проекции точек \(B\) и \(C\) на плоскость \( \alpha \) — точки \(B\) и \(C\) — находятся на расстоянии \(BO = OC = 1\) от точки \(O\).
Далее, нам известен косинус угла между наклонными \(AB\) и \(AC\), равный \(\cos \angle BAC = \frac{1}{4}\). Используя теорему косинусов в треугольнике \(ABC\), можем найти длину стороны \(BC\), которая является расстоянием между точками \(B\) и \(C\) на плоскости \(\alpha\). Формула теоремы косинусов даёт: \(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\). Подставляя значения, получаем \(BC^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} — 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 + 2 — 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 — 1 = 3\), откуда \(BC = \sqrt{3}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(BOC\), лежащий в плоскости \(\alpha\). Стороны \(BO\) и \(OC\) равны 1, а сторона \(BC\) равна \(\sqrt{3}\). По теореме косинусов для треугольника \(BOC\) можно выразить угол между проекциями наклонных \(BC\): \(BC^{2} = BO^{2} + OC^{2} — 2 \cdot BO \cdot OC \cdot \cos \angle BOC\). Подставляя известные длины, получаем \(3 = 1 + 1 — 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \angle BOC\), откуда \(2 \cdot \cos \angle BOC = 2 — 3 = -1\), то есть \(\cos \angle BOC = -\frac{1}{2}\). Значит, угол между проекциями наклонных равен \(\angle BOC = 120^\circ\).
