ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость \(\alpha\) на расстоянии 14 см от её меньшего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости \(\alpha\).

Пусть расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания \(OM=x\), тогда до большего основания \(OK=14-x\).

Из подобия треугольников \( \frac{15}{20} = \frac{x}{14-x} \).

Решаем уравнение: \( 15(14-x) = 20x \Rightarrow 210 — 15x = 20x \Rightarrow 210 = 35x \Rightarrow x=6 \).

Расстояние от точки пересечения диагоналей до плоскости \(\alpha\) равно \(14 — 6 = 8\).

Трапеция \(ABCD\) имеет основания \(AB=15\) и \(CD=20\), расстояние между которыми равно 14. Плоскость \(\alpha\) параллельна основаниям и проходит через большее основание \(CD\), значит расстояние от основания \(CD\) до плоскости \(\alpha\) равно 0. Обозначим расстояние от точки пересечения диагоналей \(O\) до меньшего основания \(AB\) как \(x\), тогда расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\) будет равно \(14 — x\), так как общая высота трапеции равна 14.

Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\), которая делит их в отношении, пропорциональном длинам оснований. Из подобия треугольников, образованных диагоналями, следует равенство отношений: \(\frac{AB}{CD} = \frac{OM}{OK}\), где \(OM = x\) — расстояние от точки \(O\) до меньшего основания, а \(OK = 14 — x\) — расстояние от точки \(O\) до большего основания (и до плоскости \(\alpha\)). Подставляя известные значения, получаем уравнение \(\frac{15}{20} = \frac{x}{14 — x}\).

Решая уравнение, умножаем обе части на знаменатель: \(15(14 — x) = 20x\), раскрываем скобки: \(210 — 15x = 20x\), переносим слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(210 = 35x\), делим обе части на 35: \(x = \frac{210}{35} = 6\). Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до плоскости \(\alpha\) равно \(14 — 6 = 8\).