Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(M\) такова, что \(OM = 1\) см. Через точку \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не больше 4 см.
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\), которая является серединой диагоналей, значит \(O = \frac{A + C}{2} = \frac{B + D}{2}\).
Пусть расстояния от вершин \(A, B, C, D\) до плоскости \(\alpha\) равны \(d_A, d_B, d_C, d_D\) соответственно. Тогда расстояние от точки \(O\) до плоскости будет равно \(d_O = \frac{d_A + d_C}{2} = \frac{d_B + d_D}{2}\).
Точка \(M\) лежит на плоскости \(\alpha\) и \(OM = 1\) см, значит расстояние от \(O\) до плоскости не больше 1, то есть \(d_O \leq 1\).
Отсюда следует, что сумма расстояний от всех вершин параллелограмма до плоскости не превышает 4: \(d_A + d_B + d_C + d_D \leq 4\).
Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке \(O\). Известно, что точка \(O\) является серединой обеих диагоналей, поэтому координаты точки \(O\) можно выразить как среднее арифметическое координат противоположных вершин: \(O = \frac{A + C}{2} = \frac{B + D}{2}\). Это означает, что точка \(O\) делит каждую диагональ пополам, и расстояния от \(O\) до каждой из вершин связаны между собой через эту точку. Такое свойство помогает нам связать расстояния от вершин параллелограмма до плоскости, проходящей через точку \(M\).
Пусть плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(M\), при этом известно, что \(OM = 1\) см, а сама плоскость не пересекает параллелограмм. Обозначим расстояния от вершин \(A, B, C, D\) до плоскости \(\alpha\) как \(d_A, d_B, d_C, d_D\) соответственно. Расстояние от любой точки до плоскости — это перпендикуляр, проведённый из точки на плоскость. Поскольку \(O\) — середина диагоналей, расстояние от \(O\) до плоскости можно выразить через расстояния от вершин: \(d_O = \frac{d_A + d_C}{2} = \frac{d_B + d_D}{2}\). Это равенство следует из линейности расстояний и свойства середины отрезка.
Точка \(M\) лежит на плоскости \(\alpha\), значит расстояние от \(M\) до плоскости равно нулю. Расстояние между точками \(O\) и \(M\) равно 1 см, следовательно, расстояние от точки \(O\) до плоскости не может превышать 1 см, то есть \(d_O \leq 1\). Подставляя выражения для \(d_O\), получаем неравенства \( \frac{d_A + d_C}{2} \leq 1 \) и \( \frac{d_B + d_D}{2} \leq 1 \). Умножая обе части на 2, суммируем и получаем итоговое неравенство для суммы расстояний: \(d_A + d_B + d_C + d_D \leq 4\). Таким образом, сумма расстояний от всех вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не превышает 4 см.
