ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна 12 см. Найдите сторону квадрата, описанного около данной окружности.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной \(a\) равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Подставляем \(a = 12\), получаем \(r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\).

Сторона квадрата, описанного около той же окружности, равна \(DE = 2r = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\).

Рассмотрим правильный треугольник со стороной \(a = 12\) см. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности определяется формулой \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Эта формула вытекает из геометрических свойств правильного треугольника и соотношений между его сторонами и радиусом вписанной окружности. Подставляя известное значение стороны, получаем \(r = \frac{12 \sqrt{3}}{6}\). Упрощая дробь, делим числитель и знаменатель на 6, что даёт \(r = 2 \sqrt{3}\) см.

Теперь рассмотрим квадрат, описанный вокруг той же окружности. Если окружность вписана в квадрат, то она касается каждой стороны квадрата ровно в одной точке, и расстояние от центра окружности до любой стороны равно радиусу \(r\). Поскольку стороны квадрата равны и окружность касается их в серединах, радиус окружности равен половине стороны квадрата. Следовательно, сторона квадрата \(DE\) выражается формулой \(DE = 2r\). Подставим найденное значение радиуса: \(DE = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\) см.

Таким образом, мы последовательно использовали формулу для радиуса вписанной окружности в правильный треугольник, вычислили этот радиус, а затем применили свойство вписанной окружности в квадрат, чтобы выразить сторону квадрата через этот радиус. Итоговый результат — сторона квадрата, описанного около окружности, равна \(4 \sqrt{3}\) см.