ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 12 : 25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см\(^2\).

Дано равнобедренный треугольник с боковой стороной, разделённой точкой касания вписанной окружности в отношении \(12 : 25\).

Обозначим множитель \(x\). Тогда боковые стороны равны \(37x\), основание \(24x\).

Высота \(BG = \sqrt{(37x)^2 — (24x)^2} = 35x\).

Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot 24x \cdot 35x = 420x^2\).

Из условия \(1680 = 420x^2\), значит \(x^2 = 4\), \(x = 2\).

Полупериметр \(p = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = 49x = 98\).

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{1680}{98} = \frac{120}{7}\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковой стороной \(AB\), на которой точка касания вписанной окружности делит сторону в отношении \(12 : 25\) от вершины \(A\). Обозначим длину отрезка \(AE\) как \(12x\), тогда отрезок \(EB\) будет равен \(25x\), где \(x\) — некоторый множитель, позволяющий выразить все стороны через одну переменную. Поскольку \(AB = AE + EB\), длина боковой стороны равна \(37x\). Основание \(AC\) можно выразить через сумму соответствующих отрезков, равных \(24x\).

Для вычисления высоты \(BG\), опущенной на основание \(AC\), используем теорему Пифагора. Высота равна корню из разности квадратов боковой стороны и половины основания: \(BG = \sqrt{(37x)^{2} — (24x)^{2}} = \sqrt{1369x^{2} — 576x^{2}} = \sqrt{793x^{2}} = 35x\). Площадь треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BG = \frac{1}{2} \cdot 24x \cdot 35x = 420x^{2}\). По условию площадь равна \(1680\), следовательно, \(1680 = 420x^{2}\), откуда \(x^{2} = \frac{1680}{420} = 4\), и \(x = 2\).

Полупериметр треугольника \(p\) равен половине суммы всех сторон: \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x\). Подставляя найденное значение \(x = 2\), получаем \(p = 98\). Радиус вписанной окружности \(r\) вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p} = \frac{1680}{98} = \frac{120}{7}\). Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{120}{7}\).