Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(A\) проведены к плоскости \(\alpha\) перпендикуляр \(AC\) и наклонные \(AB\) и \(AD\) (рис. 10.11). Найдите проекцию наклонной \(AD\) на плоскость \(\alpha\), если \(\angle BAC = 45^\circ\), \(AB = 8\) см, \(AD = 9\) см.
В треугольнике \(ABC\) угол при \(A\) равен \(45^\circ\), значит \(AC = BC\). По теореме Пифагора \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2AC^2\), откуда \(AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\) см.
В треугольнике \(ACD\) по теореме Пифагора \(AD^2 = AC^2 + CD^2\), значит \(CD = \sqrt{AD^2 — AC^2} = \sqrt{81 — 32} = 7\) см.
Проекция наклонной \(AD\) на плоскость равна \(7\) см.
В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен \(45^\circ\), а \(AC\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Это означает, что \(AC\) является высотой, опущенной из точки \(A\) на плоскость. Поскольку угол при \(A\) равен \(45^\circ\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным, где стороны \(AC\) и \(BC\) равны. Обозначим длину \(AC\) и \(BC\) через \(x\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\) имеем равенство \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), то есть \(8^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\). Отсюда находим \(x^2 = \frac{64}{2} = 32\), следовательно, \(x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см. Таким образом, длина отрезка \(AC\), равная высоте, равна \(4\sqrt{2}\) см.
Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\), в котором \(AD\) — наклонная к плоскости, а \(CD\) — проекция этой наклонной на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(AC\) перпендикулярна плоскости, треугольник \(ACD\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\). По теореме Пифагора для этого треугольника длина наклонной \(AD\) связана с длинами катетов \(AC\) и \(CD\) формулой \(AD^2 = AC^2 + CD^2\). Известно, что \(AD = 9\) см и \(AC = 4\sqrt{2}\) см. Подставляем значения: \(9^2 = (4\sqrt{2})^2 + CD^2\), то есть \(81 = 32 + CD^2\). Отсюда вычисляем \(CD^2 = 81 — 32 = 49\), значит \(CD = \sqrt{49} = 7\) см.
Таким образом, проекция наклонной \(AD\) на плоскость \(\alpha\) равна \(7\) см. Это значение показывает длину отрезка \(CD\), который является тенью наклонной на плоскость. Полученный результат соответствует геометрическим свойствам прямоугольного треугольника, где высота и проекции связаны через теорему Пифагора, а угол наклона и длины сторон позволяют однозначно определить искомую проекцию.
