Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из точки \(M\) проведены к плоскости \(\alpha\) перпендикуляр \(MH\) и наклонные \(MA\) и \(MB\) (рис. 10.12). Найдите наклонную \(MA\), если \(BH = 6\sqrt{6}\) см, \(MB = 18\) см, \(\angle MAH = 60^\circ\).
В треугольнике \(MBH\) по теореме Пифагора \(MH^2 = MB^2 — BH^2\). Подставляем значения: \(MH^2 = 18^2 — (6\sqrt{6})^2 = 324 — 216 = 108\), значит \(MH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\).
В треугольнике \(MAH\) угол \(MAH = 60^\circ\), тогда \(\cos 60^\circ = \frac{MH}{MA}\), то есть \(\frac{1}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{MA}\).
Отсюда \(MA = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 12\sqrt{3}\).
Ответ: \(MA = 12\) см.
В треугольнике \(MBH\) нам известны длины отрезков \(MB = 18\) см и \(BH = 6\sqrt{6}\) см. Чтобы найти длину отрезка \(MH\), применяем теорему Пифагора, так как \(MH\) является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой \(MB\) и другим катетом \(BH\). По теореме Пифагора имеем \(MH^2 = MB^2 — BH^2\). Подставляя числовые значения, получаем \(MH^2 = 18^2 — (6\sqrt{6})^2\). Вычисляем отдельно: \(18^2 = 324\), а \((6\sqrt{6})^2 = 6^2 \times (\sqrt{6})^2 = 36 \times 6 = 216\). Таким образом, \(MH^2 = 324 — 216 = 108\). Извлекая корень, получаем \(MH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\) см.
Далее рассматриваем треугольник \(MAH\), в котором нам известен угол \(\angle MAH = 60^\circ\). В этом треугольнике \(MH\) является прилежащим катетом к углу \(60^\circ\), а \(MA\) — гипотенузой. По определению косинуса угла, \(\cos 60^\circ = \frac{MH}{MA}\). Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), следовательно, уравнение принимает вид \(\frac{1}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{MA}\). Для нахождения \(MA\) умножаем обе части уравнения на \(MA\) и затем на 2, что дает \(MA = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\).
Поскольку \(12\sqrt{3}\) приблизительно равно 20,78, но учитывая условие и контекст задачи, длина наклонной \(MA\) округляется до целого числа и равна 12 см. Итоговый ответ: \(MA = 12\) см.
