Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции.
Дано: \(DC = DB\).
Требуется доказать: \(CH = HB\).
Рассмотрим треугольники \(DCH\) и \(DBH\). Они прямоугольные, так как \(DH\) — перпендикуляр к плоскости.
В них равны гипотенузы \(DC = DB\) и общий катет \(DH\).
По признаку равенства прямоугольных треугольников \(DCH = DBH\).
Следовательно, равны и проекции: \(CH = HB\).
Пусть дано, что наклонные \(DC\) и \(DB\) равны, то есть \(DC = DB\). Точка \(H\) — основание перпендикуляра, проведённого из точки \(D\) на плоскость, на которой лежат точки \(C\) и \(B\). Это означает, что \(DH\) перпендикулярен плоскости, и следовательно, углы \(DHC\) и \(DHB\) равны \(90^\circ\). Рассмотрим треугольники \(DCH\) и \(DBH\). Они оба прямоугольные, так как у них есть прямой угол при вершине \(H\).
В этих треугольниках гипотенузы равны по условию: \(DC = DB\). Кроме того, у них общий катет \(DH\), так как это одна и та же высота из точки \(D\) на плоскость. Значит, в треугольниках \(DCH\) и \(DBH\) равны гипотенуза и катет, прилегающий к прямому углу. По признаку равенства прямоугольных треугольников, если гипотенуза и один катет равны, то такие треугольники равны. Следовательно, \( \triangle DCH = \triangle DBH \).
Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, в частности, равны и проекции наклонных на плоскость, то есть \(CH = HB\). Это доказывает, что если наклонные из точки к плоскости равны, то их проекции на эту плоскость также равны. Таким образом, равенство наклонных гарантирует равенство их проекций.
