Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.
Дано: треугольник \( ABC \) с описанной окружностью и центром \( O \). Прямая \( l \) проходит через \( O \) и перпендикулярна плоскости \( ABC \). Точка \( M \in l \).
Так как \( O \) равноудалён от вершин \( A, B, C \), то \( OA = OB = OC \).
Поскольку \( l \perp \) плоскости \( ABC \), отрезок \( MO \) перпендикулярен плоскости, и \( M \) проецируется на \( O \).
В треугольниках \( AMO \), \( BMO \), \( CMO \) общий катет \( MO \) и равные катеты \( OA = OB = OC \).
По признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) \( MA = MB = MC \).
Следовательно, точка \( M \) равноудалена от всех вершин треугольника.
Рассмотрим треугольник \( ABC \) и его описанную окружность с центром \( O \). По определению, центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника, то есть выполняется равенство \( OA = OB = OC \). Это значит, что расстояния от точки \( O \) до каждой из точек \( A \), \( B \), \( C \) одинаковы и равны радиусу окружности.
Далее, прямая \( l \), проходящая через центр \( O \), перпендикулярна плоскости треугольника \( ABC \). Это означает, что \( l \) образует с любой прямой, лежащей в плоскости \( ABC \), угол \( 90^\circ \). Если взять точку \( M \) на этой прямой \( l \), то отрезок \( MO \) будет перпендикулярен плоскости треугольника. Следовательно, проекция точки \( M \) на плоскость \( ABC \) совпадает с точкой \( O \), так как \( O \) — основание перпендикуляра из \( M \) на плоскость.
Рассмотрим теперь треугольники \( AMO \), \( BMO \), \( CMO \). В каждом из них угол при вершине \( O \) прямой, так как \( MO \perp \) плоскости \( ABC \). В этих треугольниках общий катет — отрезок \( MO \), а другие катеты равны, так как \( OA = OB = OC \). По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам следует, что \( MA = MB = MC \). Таким образом, точка \( M \), лежащая на перпендикуляре к плоскости треугольника через центр описанной окружности, равноудалена от всех его вершин.
