Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 11.3 изображён квадрат \(ABCD\), прямая \(NC\) перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые \(BD\) и \(NO\) перпендикулярны.
Дано: квадрат \(ABCD\), \(NC \perp\) плоскости квадрата.
Диагонали квадрата \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и перпендикулярны друг другу.
Так как \(NC \perp\) плоскости квадрата, то \(NC \perp AC\) и \(NC \perp BD\).
Точка \(O\) лежит на \(AC\), значит \(NO\) лежит в плоскости, перпендикулярной \(BD\).
Отсюда следует, что \(BD \perp NO\).
Квадрат \(ABCD\) обладает свойством, что его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и при этом перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол между \(AC\) и \(BD\) равен 90 градусам, то есть \(AC \perp BD\). Точка \(O\) является серединой обеих диагоналей, так как диагонали квадрата не только равны, но и делятся пополам в точке пересечения.
Из условия задачи известно, что прямая \(NC\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\). Это значит, что \(NC\) образует прямой угол с любой прямой, лежащей в плоскости квадрата, в частности с диагоналями \(AC\) и \(BD\). Таким образом, \(NC \perp AC\) и \(NC \perp BD\). Поскольку \(O\) лежит на диагонали \(AC\), прямая \(NO\) соединяет точку \(N\), находящуюся вне плоскости квадрата, с точкой \(O\) на диагонали.
Рассмотрим треугольник \(NOC\). В нем \(NC\) является высотой, опущенной на плоскость квадрата, и перпендикулярна \(AC\). Следовательно, в пространстве прямая \(NO\), лежащая в плоскости, перпендикулярной \(BD\), должна быть перпендикулярна самой диагонали \(BD\). Таким образом, мы получаем, что \(BD \perp NO\), что и требовалось доказать.
