ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(DA\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\), \(AB = 10\) см, \(AC = 17\) см, \(BC = 21\) см. Найдите расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\), если расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 15 см.

Дано: \(DA \perp\) плоскости треугольника \(ABC\), \(AB=10\), \(AC=17\), \(BC=21\), \(DA=15\).

Найдем полупериметр \(p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\).

Площадь треугольника \(S = \sqrt{p(p — AB)(p — AC)(p — BC)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}=\)
\( = 84\).

Расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\) равно \(DH\), тогда \(S = \frac{1}{2} \times BC \times DH\), откуда \(DH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 84}{21} = 8\).

Ответ: \(DH = 8\) см.

Точка \(D\) расположена так, что \(DA\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), значит \(DA\) — высота из точки \(D\) на плоскость. Известно, что длина \(DA = 15\) см. Чтобы найти расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\), нужно определить длину перпендикуляра из точки \(D\) на эту прямую, обозначим его \(DH\).

Сначала вычислим площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона. Для этого находим полупериметр \(p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\). Далее площадь равна \(S = \sqrt{p(p — AB)(p — AC)(p — BC)} = \sqrt{24(24 — 10)(24 — 17)(24 — 21)}=\)
\( = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84\) см².

Зная площадь и сторону \(BC = 21\) см, можем найти высоту \(DH\) на сторону \(BC\) из точки \(D\). Площадь треугольника также равна \(S = \frac{1}{2} \times BC \times DH\), откуда \(DH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 84}{21} = 8\) см. Таким образом, расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\) равно 8 см.