ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(AB\) — диаметр окружности с центром \(O\), отрезок \(BC\) — её хорда, \(AB = 12\) см, \(\angle ABC = 30^\circ\). Отрезок \(AE\) — перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки \(E\) до плоскости окружности, если расстояние от точки \(E\) до прямой \(BC\) равно 10 см.

Дано: \(AB = 12\) см, \(\angle ABC = 30^\circ\), \(EC = 10\) см.

Так как \(AB\) — диаметр, \(DB = AB = 12\) см, а \(DC = \frac{1}{2} DB = 6\) см.

В прямоугольном треугольнике \(DEC\) по теореме Пифагора: \(AE^2 = EC^2 — DC^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64\).

Следовательно, \(AE = \sqrt{64} = 8\) см.

Длина отрезка \(AB\) равна 12 см, и он является диаметром окружности, следовательно, точка \(O\), центр окружности, находится посередине отрезка \(AB\). Это означает, что \(AO = OB = \frac{12}{2} = 6\) см. В условии дана хорда \(BC\) и угол при вершине \(B\), равный 30 градусам, то есть \(\angle ABC = 30^\circ\). Из этого следует, что треугольник \(DBC\), где \(D\) — проекция точки \(E\) на плоскость окружности, связан с углами и сторонами, которые можно определить с помощью известных величин.

Поскольку \(AB\) — диаметр, то треугольник \(ABC\) является прямоугольным, и угол \(ACB\) равен 90 градусам. Длина отрезка \(DB\) совпадает с диаметром \(AB\) и равна 12 см. По условию, точка \(C\) лежит на окружности, а проекция точки \(E\) на плоскость окружности — точка \(D\). Из треугольника \(DBC\) видно, что \(DC = \frac{1}{2} DB = 6\) см, так как угол при \(B\) равен 30 градусам, и в таком случае отрезок \(DC\) будет половиной отрезка \(DB\).

Расстояние от точки \(E\) до прямой \(BC\) равно 10 см, то есть перпендикуляр \(EC\) равен 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DEC\), где \(AE\) — высота, которую нужно найти. По теореме Пифагора в этом треугольнике выполняется равенство \(AE^2 = EC^2 — DC^2\). Подставляя известные значения, получаем \(AE^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64\). Следовательно, \(AE = \sqrt{64} = 8\) см.