Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(MA\) — перпендикуляр к плоскости ромба \(ABCD\). Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(CD\), если \(\angle BAC = 30^\circ\), \(AD = 10\) см, \(MA = 5\sqrt{3}\) см.
Дано: ромб \(ABCD\), \(MA \perp\) плоскости ромба, \(\angle BAC = 30^\circ\), \(AD = 10\), \(MA = 5\sqrt{3}\).
В ромбе все стороны равны, значит \(AB = BC = CD = DA = 10\).
Диагональ \(AC = 2 \cdot AD \cdot \sin 30^\circ = 10\).
Диагональ \(BD = \sqrt{AD^2 + AB^2 — 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos 30^\circ} = \sqrt{200 — 100\sqrt{3}}\).
Расстояние от \(A\) до \(CD\) равно высоте треугольника \(ACD\): \(h = \frac{AC \cdot BD}{2 \cdot CD} = \frac{10 \cdot \sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{20} = \frac{\sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{2}\).
Расстояние от \(M\) до \(CD\) равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(MA\) и \(h\):
\(d = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{2}\right)^2} = \sqrt{75 + \frac{200 — 100\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{125 — 25\sqrt{3}}\).
Ответ: \(d = \sqrt{125 — 25\sqrt{3}}\).
Ромб \(ABCD\) имеет все стороны равные, значит \(AB = BC = CD = DA = 10\). Угол \(\angle BAC = 30^\circ\) — это угол между диагоналями ромба, при этом \(MA\) — перпендикуляр к плоскости ромба, длина которого равна \(5\sqrt{3}\). Сначала вычисляем длину диагонали \(AC\). Поскольку диагонали ромба пересекаются под углом \(90^\circ\), а угол между сторонами \(30^\circ\), длина диагонали \(AC\) равна \(2 \cdot AD \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 10\).
Далее находим длину диагонали \(BD\) с помощью закона косинусов в треугольнике \(ABD\). Формула: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ\). Подставляя значения, получаем \(BD^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 — 100\sqrt{3}\), откуда \(BD = \sqrt{200 — 100\sqrt{3}}\).
Для вычисления расстояния от точки \(M\) до прямой \(CD\) нужно найти высоту \(h\) из точки \(A\) на сторону \(CD\) в треугольнике \(ACD\). Площадь ромба равна \(\frac{1}{2} AC \cdot BD\), следовательно, площадь треугольника \(ACD\) равна \(\frac{1}{4} AC \cdot BD\). Высота \(h\) равна \( \frac{2 \cdot S_{ACD}}{CD} = \frac{AC \cdot BD}{2 \cdot CD} = \frac{10 \cdot \sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{20} = \frac{\sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{2}\).
Расстояние от точки \(M\) до прямой \(CD\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(MA = 5\sqrt{3}\) и высотой \(h\). Используем теорему Пифагора: \(d = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{200 — 100\sqrt{3}}}{2}\right)^2} = \sqrt{75 + \frac{200 — 100\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{125 — 25\sqrt{3}}\).
Таким образом, окончательный ответ: расстояние от точки \(M\) до прямой \(CD\) равно \(d = \sqrt{125 — 25\sqrt{3}}\).
