Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(DA\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\), \(\angle ABC = 120^\circ\), \(AB = 14\) см. Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\), если эта точка удалена от прямой \(BC\) на \(2\sqrt{43}\) см.
Дано: \( \angle ABC = 120^\circ \), \( AB = 14 \), расстояние от \( D \) до прямой \( BC \) равно \( 2\sqrt{43} \).
В треугольнике \( ABH \) вычисляем \( DH = AB \sin 120^\circ = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \).
В прямоугольном треугольнике \( DHD \) находим \( DD = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 — (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{172 — 147} = 5 \).
Ответ: \( 5 \) см.
В треугольнике \( ABC \) угол \( \angle ABC = 120^\circ \), а длина стороны \( AB = 14 \) см. Точка \( D \) расположена так, что отрезок \( DA \) перпендикулярен плоскости \( ABC \). Нам известно, что расстояние от точки \( D \) до прямой \( BC \) равно \( 2 \sqrt{43} \) см. Чтобы найти расстояние \( DD \) от точки \( D \) до плоскости \( ABC \), нужно использовать свойства перпендикуляров и тригонометрию.
Сначала рассмотрим проекцию точки \( D \) на плоскость \( ABC \), обозначим эту проекцию как \( H \). Так как \( DA \) перпендикулярен плоскости, то \( DH \) лежит в плоскости \( ABC \). В треугольнике \( ABH \) угол при вершине \( B \) равен \( 120^\circ \), а сторона \( AB = 14 \). Проекция \( DH \) на сторону \( AB \) вычисляется через синус угла \( 120^\circ \), так как \( DH \) — высота, проведённая из точки \( H \) на сторону \( AB \). Тогда длина \( DH \) равна \( AB \times \sin 120^\circ = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3} \).
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками \( D \), \( H \) и точкой на прямой \( BC \), к которой проведено перпендикулярное расстояние \( DK = 2 \sqrt{43} \). Здесь \( DD \) — искомое расстояние от точки \( D \) до плоскости \( ABC \), \( DH = 7 \sqrt{3} \) — горизонтальная проекция, а \( DK \) — гипотенуза. По теореме Пифагора вычисляем \( DD = \sqrt{DK^{2} — DH^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{43})^{2} — (7 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4 \times 43 — 49 \times 3}=\)
\( = \sqrt{172 — 147} = \sqrt{25} = 5 \).
Таким образом, расстояние от точки \( D \) до плоскости \( ABC \) равно \( 5 \) см. Этот результат получен с использованием тригонометрических соотношений и теоремы Пифагора в пространстве, учитывая перпендикулярность \( DA \) плоскости и заданные длины и углы.
