ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника \(ABC\). Проекцией точки \(M\) на плоскость \(ABC\) является точка \(O\), принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки \(M\) до стороны \(AB\), если расстояние от этой точки до плоскости \(ABC\) равно \(3\sqrt{2}\) см, \(AB = 18\) см.

Треугольник \(ABC\) правильный, значит высота равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times 18 = 9\sqrt{3} \).

Расстояние от центра \(O\) до стороны \(AB\) равно \( \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).

Расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\) равно \(3\sqrt{2}\).

Расстояние от \(M\) до стороны \(AB\) вычисляем по теореме Пифагора: \( ME = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{18 + 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

Правильный треугольник \(ABC\) имеет сторону \(AB = 18\) см. Высота такого треугольника выражается формулой \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB \). Подставляя значение стороны, получаем \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 18 = 9\sqrt{3} \) см. Высота — это расстояние от вершины \(C\) до стороны \(AB\), а точка пересечения медиан, центроид \(O\), делит высоту в отношении 2 к 1, считая от вершины. Значит расстояние от центра \(O\) до стороны \(AB\) равно \( \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.

Точка \(M\) равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника, то есть расстояния от \(M\) до \(AB\), \(BC\) и \(CA\) равны. Проекция точки \(M\) на плоскость треугольника — центр \(O\), а расстояние \(MO\) перпендикулярно плоскости и равно \(3\sqrt{2}\) см. Таким образом, расстояние от точки \(M\) до стороны \(AB\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет равен расстоянию \(MO\), а другой — расстоянию \(OE\) от центра \(O\) до стороны \(AB\).

Используя теорему Пифагора, вычисляем расстояние \(ME\) от точки \(M\) до стороны \(AB\): \( ME = \sqrt{(MO)^2 + (OE)^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{18 + 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) см. Это и есть искомое расстояние от точки \(M\) до стороны \(AB\).