Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) не принадлежит плоскости треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) и находится на расстоянии \(2\sqrt{5}\) см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки \(M\) на плоскость \(ABC\) является точка \(O\), принадлежащая данному треугольнику. Точка касания окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), с гипотенузой \(AB\) делит её на отрезки длиной 3 см и 10 см. Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\).
Дано: \(AK = 3\), \(KB = 10\), \(AB = 13\). Пусть \(AC = x + 3\), \(BC = x + 10\).
По теореме Пифагора: \((x + 3)^2 + (x + 10)^2 = 13^2\).
Раскроем скобки: \(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 20x + 100 = 169\).
Сложим и упростим: \(2x^2 + 26x + 109 = 169\), откуда \(2x^2 + 26x — 60 = 0\).
Разделим на 2: \(x^2 + 13x — 30 = 0\).
Дискриминант: \(D = 13^2 + 4 \cdot 30 = 289\).
Корни: \(x = \frac{-13 \pm 17}{2}\), берём \(x = 2\).
Тогда \(AC = 5\), \(BC = 12\).
Расстояния от \(M\) до сторон равны \(2\sqrt{5}\), проекция \(O\) лежит в треугольнике.
Найдем \(MO\) по формуле: \(MO^2 = MF^2 — OF^2 = (2\sqrt{5})^2 — 2^2 = 20 — 4 = 16\).
Следовательно, \(MO = 4\).
Ответ: \(4\) см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\). Из условия известно, что вписанная окружность касается гипотенузы \(AB\) в точке \(K\), которая делит \(AB\) на отрезки \(AK = 3\) и \(KB = 10\). Значит, длина гипотенузы \(AB = AK + KB = 13\). Обозначим длины катетов через \(AC = a\) и \(BC = b\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справедливо равенство \(a^{2} + b^{2} = 13^{2} = 169\).
Пусть \(a = x + 3\), а \(b = x + 10\), где \(x\) — неизвестное число. Это предположение основано на свойствах касательных и длинах отрезков, связанных с точкой касания вписанной окружности. Подставим эти выражения в уравнение Пифагора: \((x + 3)^{2} + (x + 10)^{2} = 169\). Раскроем скобки: \(x^{2} + 6x + 9 + x^{2} + 20x + 100 = 169\). Сложим подобные члены: \(2x^{2} + 26x + 109 = 169\). Перенесём 169 в левую часть: \(2x^{2} + 26x + 109 — 169 = 0\), то есть \(2x^{2} + 26x — 60 = 0\). Разделим уравнение на 2 для упрощения: \(x^{2} + 13x — 30 = 0\).
Рассчитаем дискриминант квадратного уравнения: \(D = 13^{2} + 4 \cdot 30 = 169 + 120 = 289\). Найдём корни: \(x = \frac{-13 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-13 \pm 17}{2}\). Первый корень: \(x = \frac{-13 + 17}{2} = 2\), второй корень отрицателен, поэтому отбрасываем. Следовательно, \(x = 2\), откуда \(a = 2 + 3 = 5\), \(b = 2 + 10 = 12\). Таким образом, стороны треугольника равны \(5\), \(12\) и \(13\).
Теперь рассмотрим точку \(M\), которая находится вне плоскости треугольника, и её проекцию \(O\) на плоскость \(ABC\). По условию расстояния от точки \(M\) до прямых, содержащих стороны треугольника, равны \(2\sqrt{5}\). Пусть \(MF = 2\sqrt{5}\) — расстояние от \(M\) до одной из сторон, а \(OF = 2\) — расстояние от проекции \(O\) до точки касания на стороне. Тогда расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\) вычисляется по теореме Пифагора как \(MO^{2} = MF^{2} — OF^{2} = (2\sqrt{5})^{2} — 2^{2} = 20 — 4 = 16\). Значит, \(MO = \sqrt{16} = 4\).
Ответ: расстояние от точки \(M\) до плоскости треугольника равно 4 см.
