ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка \(M\) равноудалена от сторон данного многоугольника.

Точка \(M\) проецируется на точку \(O\) — центр вписанной окружности, значит \(MO\) перпендикулярна плоскости многоугольника.

Отрезки \(OD\), \(OE\), \(OF\) равны радиусу \(r\) вписанной окружности.

Треугольники \(MOD\), \(MOE\), \(MOF\) равны по двум катетам: \(MO\) общий, \(OD = OE = OF = r\).

Следовательно, \(MD = ME = MF\), то есть точка \(M\) равноудалена от сторон многоугольника.

Точка \(M\) не лежит в плоскости многоугольника, и её проекция на эту плоскость — точка \(O\), которая является центром вписанной окружности. Это означает, что отрезок \(MO\) перпендикулярен плоскости многоугольника, то есть \(MO \perp\) плоскости. Такая перпендикулярность гарантирует, что расстояние от точки \(M\) до любой точки в плоскости многоугольника можно рассматривать через прямоугольные треугольники с общим катетом \(MO\).

Вписанная окружность касается сторон многоугольника в точках \(D\), \(E\) и \(F\). По определению вписанной окружности, её радиус равен расстоянию от центра \(O\) до любой точки касания, то есть \(OD = OE = OF = r\). Из этого следует, что точки \(D\), \(E\) и \(F\) лежат на окружности с центром в \(O\) и радиусом \(r\).

Рассмотрим треугольники \(MOD\), \(MOE\) и \(MOF\). В каждом из них угол при вершине \(O\) прямой, так как \(MO\) перпендикулярен плоскости, а \(OD\), \(OE\), \(OF\) лежат в этой плоскости. В этих треугольниках у нас есть общий катет \(MO\) и равные катеты \(OD = OE = OF = r\). По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам треугольники \(MOD\), \(MOE\) и \(MOF\) равны. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны: \(MD = ME = MF\). Это означает, что точка \(M\) равноудалена от точек касания вписанной окружности, а значит и от сторон многоугольника, к которым эти точки принадлежат.