ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр окружности, вписанной в трапецию \(ABCD\), \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(CD = 12\) см, \(\angle ADC = 45^\circ\). Отрезок \(MO\) — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка \(M\) удалена от плоскости трапеции на \(6\sqrt{2}\) см. Найдите расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.

В треугольнике \(CDK\) углы при \(D\) и \(C\) равны \(45^\circ\), значит \(CK = KD = x\). По теореме Пифагора \(2x^2 = 12^2\), откуда \(x = 6\sqrt{2}\).

Расстояние \(MO = 6\sqrt{2}\) перпендикулярно плоскости трапеции, значит расстояния от точки \(M\) до сторон равны длинам отрезков \(ME = MF = MG = MK\).

По теореме Пифагора \(MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = 3\sqrt{10}\).

Ответ: \(ME = MF = MG = MK = 3\sqrt{10}\) см.

В треугольнике \(CDK\) известно, что углы при вершинах \(D\) и \(C\) равны \(45^\circ\). Это означает, что треугольник является равнобедренным и прямоугольным, поскольку сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а два угла по \(45^\circ\) дают третий прямой угол. Следовательно, стороны \(CK\) и \(KD\) равны, обозначим их длину через \(x\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем равенство \(CK^2 + KD^2 = CD^2\), то есть \(x^2 + x^2 = 12^2\), что упрощается до \(2x^2 = 144\). Отсюда находим \(x^2 = \frac{144}{2} = 72\), а значит \(x = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). Таким образом, длины отрезков \(CK\) и \(KD\) равны \(6\sqrt{2}\) см.

Далее, точка \(M\) находится вне плоскости трапеции, и отрезок \(MO\) перпендикулярен этой плоскости. Это означает, что расстояния от точки \(M\) до сторон трапеции равны длинам отрезков, проведённых из \(M\) перпендикулярно к этим сторонам. Поскольку \(MO\) — высота, опущенная из \(M\) на плоскость, расстояния до оснований перпендикуляров на стороны трапеции можно рассматривать как гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами \(MO\) и соответствующими отрезками в плоскости трапеции. Обозначим расстояния от \(M\) до сторон трапеции через \(ME\), \(MF\), \(MG\), \(MK\). Все они равны, так как точка \(M\) расположена симметрично относительно этих сторон.

Для вычисления, например, расстояния \(MK\), используем теорему Пифагора в треугольнике \(MOK\), где \(MO = 6\sqrt{2}\) — перпендикуляр к плоскости, а \(OK = 3\sqrt{2}\) — расстояние в плоскости от точки \(O\) до основания перпендикуляра на сторону \(CD\). Тогда \(MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\) см. Аналогично для остальных сторон трапеции расстояния совпадают, так как условия задачи симметричны.

Ответ: расстояния от точки \(M\) до всех сторон трапеции равны \(ME = MF = MG = MK = 3\sqrt{10}\) см.