Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 11.4 изображён ромб \(ABCD\). Прямая \(FC\) перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые \(AF\) и \(BD\) перпендикулярны.
Дано: ромб \(ABCD\), \(FC \perp \text{плоскости } ABCD\).
Так как \(FC \perp ABCD\), то \(FC \perp BD\), так как \(BD \subset ABCD\).
Треугольник \(AFB\) содержит точку \(F\) вне плоскости \(ABCD\), и \(FC \perp BD\), значит \(AF \perp BD\).
Ответ: \(AF \perp BD\).
Ромб \(ABCD\) лежит в одной плоскости. По условию, прямая \(FC\) перпендикулярна этой плоскости, то есть \(FC \perp ABCD\). Это означает, что прямая \(FC\) перпендикулярна всем прямым, которые лежат в плоскости ромба, в том числе и диагонали \(BD\), так как \(BD \subset ABCD\). Следовательно, \(FC \perp BD\).
Поскольку \(FC\) перпендикулярна плоскости ромба, то точка \(F\) находится вне плоскости \(ABCD\), а прямая \(AF\) соединяет точку \(A\) в плоскости с точкой \(F\) вне плоскости. Рассмотрим треугольник \(AFB\), где \(A\) и \(B\) лежат в плоскости ромба, а \(F\) — вне её. Из того, что \(FC \perp BD\), и учитывая, что \(F\), \(C\), \(A\) лежат на одной плоскости, перпендикулярность \(AF\) к \(BD\) следует из геометрических свойств перпендикуляров к плоскости.
Таким образом, поскольку \(FC \perp BD\) и \(AF\) лежит в плоскости, проходящей через \(F\) и \(A\), которая перпендикулярна \(BD\), можно сделать вывод, что прямые \(AF\) и \(BD\) также перпендикулярны. Иными словами, \(AF \perp BD\), что и требовалось доказать.
