Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(A_1C\) и \(B_1D_1\).
Координаты точек куба: \( A_1(0,0,1) \), \( C(1,1,0) \), \( B_1(1,0,1) \), \( D_1(0,1,1) \).
Векторы: \( \overrightarrow{A_1C} = (1,1,-1) \), \( \overrightarrow{B_1D_1} = (-1,1,0) \).
Скалярное произведение: \( (1)(-1) + (1)(1) + (-1)(0) = 0 \).
Длины векторов: \( |\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{3} \), \( |\overrightarrow{B_1D_1}| = \sqrt{2} \).
Угол: \( \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 \), значит \( \theta = 90^\circ \).
Рассмотрим куб с вершинами, где \( A_1 \) имеет координаты \( (0,0,1) \), \( C \) — \( (1,1,0) \), \( B_1 \) — \( (1,0,1) \), а \( D_1 \) — \( (0,1,1) \). Для нахождения угла между прямыми \( A_1C \) и \( B_1D_1 \) нужно определить направления этих прямых через векторы. Вектор \( \overrightarrow{A_1C} \) получается вычитанием координат точки \( A_1 \) из координат точки \( C \), то есть \( (1 — 0, 1 — 0, 0 — 1) = (1, 1, -1) \). Аналогично вектор \( \overrightarrow{B_1D_1} \) равен \( (0 — 1, 1 — 0, 1 — 1) = (-1, 1, 0) \).
Для вычисления угла между двумя векторами используется формула косинуса угла: \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{B_1D_1}}{|\overrightarrow{A_1C}| \cdot |\overrightarrow{B_1D_1}|} \). Скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{B_1D_1} \) находится как сумма произведений соответствующих координат: \( 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = -1 + 1 + 0 = 0 \). Длины векторов равны корням из суммы квадратов их координат: \( |\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \), \( |\overrightarrow{B_1D_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \).
Подставляя найденные значения в формулу, получаем \( \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 \). Значит, угол \( \theta \) равен \( 90^\circ \), так как косинус нуля равен нулю. Это означает, что прямые \( A_1C \) и \( B_1D_1 \) перпендикулярны друг другу. Таким образом, угол между этими прямыми в кубе равен \( 90^\circ \).
