Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
В кубе \(CD_1\) — ребро, соединяющее вершины \(C\) и \(D_1\).
Ребро \(CD_1\) перпендикулярно ребру \(DC_1\), так как они принадлежат смежным граням куба и исходят из одной вершины \(D\).
Плоскость \(AB_1C_1\) содержит ребра \(AB_1\) и \(B_1C_1\), которые параллельны ребрам \(DC_1\) и \(C_1B_1\) соответственно.
Так как \(CD_1 \perp DC_1\) и \(CD_1 \perp C_1B_1\), то \(CD_1\) перпендикулярно плоскости \(AB_1C_1\).
Следовательно, \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
В кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) ребро \( CD_1 \) соединяет вершины \( C \) и \( D_1 \), которые находятся на разных гранях куба. Ребро \( CD_1 \) является диагональю боковой грани \( CDD_1C_1 \). Важно отметить, что ребро \( DC_1 \), принадлежащее этой же грани, перпендикулярно ребру \( CD_1 \), так как боковая грань куба — квадрат, и его диагонали и стороны образуют прямые углы. Следовательно, \( CD_1 \perp DC_1 \).
Плоскость \( AB_1C_1 \) содержит три точки: \( A \), \( B_1 \), и \( C_1 \). В этой плоскости лежат ребра \( AB_1 \) и \( B_1C_1 \), которые параллельны ребрам \( DC_1 \) и \( C_1B_1 \) соответственно, так как они принадлежат параллельным граням куба. Поскольку ребро \( CD_1 \) перпендикулярно ребру \( DC_1 \), а ребро \( DC_1 \) лежит в плоскости \( AB_1C_1 \), то \( CD_1 \) перпендикулярно этой плоскости, если оно перпендикулярно хотя бы двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.
Для доказательства перпендикулярности \( CD_1 \) плоскости \( AB_1C_1 \) достаточно показать, что \( CD_1 \perp AB_1 \) и \( CD_1 \perp B_1C_1 \). Поскольку \( AB_1 \) и \( B_1C_1 \) параллельны ребрам \( DC_1 \) и \( C_1B_1 \), а \( CD_1 \perp DC_1 \), то \( CD_1 \perp AB_1 \). Аналогично \( CD_1 \perp B_1C_1 \). Таким образом, ребро \( CD_1 \) перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости \( AB_1C_1 \), значит \( CD_1 \perp AB_1C_1 \).
