Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Ребро \(DA\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\) (рис. 11.10), \(AC = AD\), \(\angle ACB = 90^\circ\), точка \(M\) — середина ребра \(BD\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(CD\).
Ребро \(DA\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит \(DA \perp AC\) и \(DA \perp BC\).
Так как \(\angle ACB = 90^\circ\), треугольник \(ABC\) прямоугольный в \(C\).
Точка \(M\) — середина ребра \(BD\).
Плоскость сечения проходит через \(M\) и перпендикулярна прямой \(CD\), значит нормаль плоскости направлена вдоль \(CD\).
Проведём через \(M\) плоскость, перпендикулярную \(CD\).
Найдём точки пересечения плоскости с ребрами:
— \(K\) — точка пересечения с \(AD\).
— \(L\) — точка пересечения с \(BC\).
Сечение — четырёхугольник \(MKLA\).
Ребро \(DA\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), следовательно, оно перпендикулярно всем прямым, лежащим в этой плоскости, в частности \(AC\) и \(BC\). Это означает, что в тетраэдре \(DABC\) отрезок \(DA\) является высотой, опущенной из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\). Условие \(AC = AD\) указывает, что длины ребер \(AC\) и \(AD\) равны, а угол \(ACB = 90^\circ\) говорит о том, что треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\).
Точка \(M\) — середина ребра \(BD\), значит координаты \(M\) можно выразить как среднее арифметическое координат точек \(B\) и \(D\). Плоскость сечения проходит через \(M\) и перпендикулярна прямой \(CD\), то есть вектор нормали к плоскости сечения совпадает с направлением вектора \(CD\). Это ключевой момент, так как позволяет однозначно определить положение сечения: оно образуется плоскостью, которая содержит точку \(M\) и ортогональна вектору \(CD\).
Для построения сечения необходимо найти точки пересечения этой плоскости с другими ребрами тетраэдра. Плоскость, проходящая через \(M\) и перпендикулярная \(CD\), пересечёт ребра \(AD\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью — это четырёхугольник \(MKLA\), где \(M\) — середина \(BD\), \(K\) и \(L\) — точки пересечения с ребрами \(AD\) и \(BC\), а \(A\) — вершина тетраэдра.
