Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Каждое ребро тетраэдра \(DABC\) равно \(a\). Из точки \(D\) опущен перпендикуляр \(DO\) на плоскость \(ABC\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(DO\) и перпендикулярной прямой \(AB\), и найдите площадь построенного сечения.
Дано правильный тетраэдр с ребром \(a\). Точка \(O\) — основание перпендикуляра из \(D\) на плоскость \(ABC\).
Плоскость сечения проходит через прямую \(DO\) и перпендикулярна \(AB\), значит сечение — ромб \(DOEK\).
Длина диагонали \(DO\) равна высоте тетраэдра, а другая диагональ — отрезок \(EK\), перпендикулярный \(AB\).
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
\(S_{DOEK} = \frac{DO \cdot EK}{2}\).
Для правильного тетраэдра \(DO = \frac{a \sqrt{6}}{3}\), а \(EK = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).
Подставляем и упрощаем:
\(S_{DOEK} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{18}}{18} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}\).
Ответ: \(S_{DOEK} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}\).
Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром длины \(a\). Из вершины \(D\) опущен перпендикуляр \(DO\) на плоскость основания \(ABC\), где \(O\) — основание перпендикуляра. Плоскость сечения задана так, что она проходит через прямую \(DO\) и перпендикулярна ребру \(AB\). Это означает, что плоскость содержит прямую \(DO\) и пересекает плоскость основания по прямой, перпендикулярной \(AB\), проходящей через точку \(O\).
Поскольку тетраэдр правильный, все его ребра равны \(a\), а треугольник \(ABC\) — равносторонний. Высота тетраэдра, то есть длина перпендикуляра \(DO\), равна \(DO = \frac{a \sqrt{6}}{3}\). Прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость \(ABC\), перпендикулярна \(AB\) и проходит через \(O\), поэтому она пересечёт стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(E\) соответственно. Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник \(DOEK\), который является ромбом, поскольку стороны равны и углы между ними равны.
Площадь ромба можно найти через половину произведения его диагоналей. Диагональ \(DO\) известна и равна высоте тетраэдра \(DO = \frac{a \sqrt{6}}{3}\). Вторая диагональ \(EK\) лежит в плоскости основания и равна отрезку, перпендикулярному \(AB\), проходящему через \(O\). Длина \(EK\) равна \(EK = \frac{a \sqrt{3}}{3}\), так как это высота равностороннего треугольника \(ABC\), делённая пополам. Тогда площадь сечения равна \(S_{DOEK} = \frac{DO \cdot EK}{2} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{18}}{18} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}\).
Итоговый результат: площадь сечения, проходящего через прямую \(DO\) и перпендикулярного \(AB\), равна \(S_{DOEK} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}\).
