ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ \(AC\) ромба \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) удалена от плоскости \(\alpha\) на \(3\sqrt{7}\) см. Найдите проекцию диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\), если \(BD = 24\) см.

Дано: \(BD = 24\), расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно \(BH = 3\sqrt{7}\).

Проекция диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\) равна \(HP\).

По теореме Пифагора: \(HP = \sqrt{BD^2 — BH^2} = \sqrt{24^2 — (3\sqrt{7})^2} = \sqrt{576 — 63} = \sqrt{513}\).

Ответ: \(HP = \sqrt{513}\) см.

Ромб \(ABCD\) имеет диагональ \(BD\), длина которой равна 24 см. Точка \(B\) находится на расстоянии \(3\sqrt{7}\) см от плоскости \(\alpha\), в которой лежит диагональ \(AC\). Нам нужно найти длину проекции диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\). Проекция — это отрезок, который получается при «опускании» точки \(B\) перпендикулярно на плоскость \(\alpha\), обозначим эту проекцию как \(HP\).

Расстояние \(BH\) от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\) равно \(3\sqrt{7}\) см, это высота перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Диагональ \(BD\) — это гипотенуза треугольника \(BHP\), где \(H\) — проекция точки \(B\), а \(P\) — точка на плоскости \(\alpha\), куда проецируется точка \(D\). В этом прямоугольном треугольнике катеты — это \(BH\) и \(HP\), а гипотенуза — \(BD\).

По теореме Пифагора длина проекции \(HP\) вычисляется как корень из разности квадратов гипотенузы и высоты: \(HP = \sqrt{BD^{2} — BH^{2}}\). Подставляем числовые значения: \(HP = \sqrt{24^{2} — (3\sqrt{7})^{2}} = \sqrt{576 — 63} = \sqrt{513}\). Таким образом, длина проекции диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\) равна \(\sqrt{513}\) см.