Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(DC_1B_1\).
В кубе \( A_1C \) — диагональ, соединяющая верхнюю и нижнюю вершины.
Прямая \( A_1C \) перпендикулярна ребру \( BD \) основания, так как \( A_1 \) — вершина, противоположная основанию.
Поскольку \( BD \) и \( DC \) лежат в плоскости \( DC_1B_1 \) и пересекаются, а \( A_1C \perp BD \) и \( A_1C \perp DC \), то по признаку перпендикулярности прямая \( A_1C \perp \) плоскости \( DC_1B_1 \).
В кубе \( A_1C \) — это диагональ, которая соединяет верхнюю вершину \( A_1 \) с нижней вершиной \( C \), расположенную на противоположной стороне основания. Эта прямая проходит через внутреннее пространство куба и не лежит в плоскостях граней. Рассмотрим плоскость \( DC_1B_1 \), которая образована точками \( D \), \( C_1 \) и \( B_1 \). Вершины \( D \) и \( C_1 \) соединены ребром куба, как и вершины \( B_1 \) и \( C_1 \). Таким образом, плоскость \( DC_1B_1 \) содержит ребра и диагонали верхней и боковой граней куба.
Для доказательства перпендикулярности прямой \( A_1C \) к плоскости \( DC_1B_1 \) достаточно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся в этой плоскости прямым. В плоскости \( DC_1B_1 \) рассмотрим прямые \( DC \) и \( BD \), которые пересекаются в точке \( D \). Из свойств куба известно, что диагональ \( A_1C \) перпендикулярна диагонали основания \( BD \), так как эти отрезки расположены в пространстве куба под прямым углом. Кроме того, \( A_1C \) перпендикулярна ребру \( DC \), так как ребро \( DC \) лежит в основании, а \( A_1C \) соединяет противоположные вершины основания и верхнего основания.
Поскольку прямая \( A_1C \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( BD \) и \( DC \), которые лежат в плоскости \( DC_1B_1 \), по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что \( A_1C \perp \) плоскости \( DC_1B_1 \). Это означает, что угол между прямой \( A_1C \) и любой прямой, лежащей в плоскости \( DC_1B_1 \), равен \( 90^\circ \), что и требовалось доказать.
