Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием пирамиды \(SABC\) является равносторонний треугольник \(ABC\), сторона которого равна \(4\sqrt{2}\) см. Ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите расстояние между прямыми \(SM\) и \(CN\).
Основание пирамиды — равносторонний треугольник с длиной стороны \(4\sqrt{2}\) см. Координаты точек: \(C(0,0,0)\), \(B(4\sqrt{2},0,0)\), \(A(2\sqrt{2},2\sqrt{6},0)\), \(S(0,0,2)\).
Точки середины: \(M(2\sqrt{2},0,0)\), \(N(3\sqrt{2},\sqrt{6},0)\).
Векторы направлений прямых: \(\vec{SM} = (2\sqrt{2},0,-2)\), \(\vec{CN} = (3\sqrt{2},\sqrt{6},0)\).
Вектор между точками \(S\) и \(C\): \(\vec{SC} = (0,0,-2)\).
Вычисляем векторное произведение \(\vec{SM} \times \vec{CN} = (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3})\).
Вычисляем расстояние между прямыми по формуле:
\(d = \frac{| \vec{SC} \cdot (\vec{SM} \times \vec{CN}) |}{|\vec{SM} \times \vec{CN}|} = \frac{|(0,0,-2) \cdot (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3})|}{\sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2}} = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Ответ: расстояние между прямыми равно \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) см.
Пирамида \(SABC\) имеет основание в виде равностороннего треугольника со стороной \(4\sqrt{2}\) см. Для удобства решения задачи выберем систему координат так, чтобы точка \(C\) находилась в начале координат, а ребро \(BC\) лежало на оси \(x\). Тогда координаты точек основания будут: \(C(0,0,0)\), \(B(4\sqrt{2},0,0)\). Высота равностороннего треугольника равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{6}\), поэтому точка \(A\) будет иметь координаты \(A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0)\). Поскольку ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см, точка \(S\) расположена на оси \(z\) над точкой \(C\), то есть \(S(0,0,2)\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно, их координаты находятся как средние арифметические координат концов соответствующих отрезков. Для \(M\) это \(M \left(\frac{0 + 4\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}, 0\right) = (2\sqrt{2}, 0, 0)\), для \(N\) — \(N \left(\frac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{6} + 0}{2}, 0\right) = (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)\). Теперь можно определить векторы направлений прямых \(SM\) и \(CN\). Вектор \(\vec{SM} = M — S = (2\sqrt{2}, 0, -2)\), а вектор \(\vec{CN} = N — C = (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)\).
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используется формула, основанная на векторном произведении: расстояние \(d = \frac{|(\overrightarrow{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}\), где \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) — направления прямых, а \(\overrightarrow{PQ}\) — вектор между точками на этих прямых. Возьмём точки \(P = S(0,0,2)\) и \(Q = C(0,0,0)\), тогда \(\overrightarrow{PQ} = Q — P = (0,0,-2)\). Вычислим векторное произведение \(\vec{SM} \times \vec{CN}\):
\(\vec{SM} \times \vec{CN} = (2\sqrt{2}, 0, -2) \times (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0) = (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3})\).
Далее вычислим скалярное произведение \(\overrightarrow{PQ} \cdot (\vec{SM} \times \vec{CN}) = (0,0,-2) \cdot (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3}) = -2 \times 4\sqrt{3} = -8\sqrt{3}\), по модулю это \(8\sqrt{3}\).
Длина вектора \(\vec{SM} \times \vec{CN}\) равна \(\sqrt{(2\sqrt{6})^{2} + (-6\sqrt{2})^{2} + (4\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{24 + 72 + 48} = \sqrt{144} = 12\).
Подставляя в формулу, получаем \(d = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) см. Это и есть искомое расстояние между прямыми \(SM\) и \(CN\).
