Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 11.5 изображён равносторонний треугольник \(ABC\), точка \(D\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(AM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Докажите, что \(MD \perp BC\).
Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(D\) — середина \(BC\), \(AM \perp\) плоскости \(ABC\).
Так как \(AM \perp\) плоскости \(ABC\), то \(AM \perp BC\).
Точка \(M\) лежит на \(AM\), значит \(M\) находится вне плоскости \(ABC\).
Поскольку \(D\) — середина \(BC\), то отрезок \(MD\) перпендикулярен \(BC\).
Следовательно, \(MD \perp BC\).
Треугольник \(ABC\) равносторонний, значит все его стороны равны, в частности \(BC = AB = AC\). Точка \(D\) — середина стороны \(BC\), поэтому по определению середины отрезка выполняется равенство \(BD = DC\). Это важный факт, так как точка \(D\) делит сторону \(BC\) на две равные части, что позволяет рассматривать отрезок \(MD\) относительно прямой \(BC\) симметрично.
Прямая \(AM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой \(BC\). Из этого следует, что \(AM \perp BC\). Поскольку точка \(M\) лежит на прямой \(AM\), то \(M\) находится вне плоскости \(ABC\), а линия \(AM\) является высотой, опущенной из точки \(M\) на плоскость треугольника.
Рассмотрим треугольник \(MBC\). В нем точка \(D\) — середина стороны \(BC\), а прямая \(AM\) является перпендикуляром к \(BC\). Следовательно, отрезок \(MD\), соединяющий точку \(M\) с серединой \(BC\), будет перпендикулярен \(BC\). Это происходит потому, что \(M\) лежит на линии, перпендикулярной плоскости треугольника, а \(D\) — середина основания \(BC\), что гарантирует перпендикулярность \(MD\) и \(BC\). Таким образом, доказано, что \(MD \perp BC\).
