ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности с центром \(O\) (рис. 11.6). Прямая \(a\) принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке \(B\). Докажите, что \(AB \perp a\).

Дано: \(AO \perp\) плоскости окружности, \(a\) — касательная к окружности в точке \(B\).

Так как \(AO \perp\) плоскости, то \(AO \perp a\).

Радиус \(OB\) перпендикулярен касательной \(a\), то есть \(OB \perp a\).

Точки \(A, O, B\) лежат на одной прямой, значит \(AB \perp a\).

Дано, что прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности с центром в точке \(O\). Это означает, что \(AO\) образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, прямая \(a\), которая принадлежит плоскости окружности, будет перпендикулярна прямой \(AO\). Таким образом, справедливо утверждение \(AO \perp a\).

Прямая \(a\) касается окружности в точке \(B\). Из свойства касательной к окружности известно, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус \(OB\) перпендикулярен прямой \(a\), то есть \(OB \perp a\). Таким образом, в точке касания \(B\) радиус и касательная образуют прямой угол.

Точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой \(AO\), где \(B\) — точка касания. Тогда отрезок \(AB\) можно рассматривать как часть прямой \(AO\). Поскольку и \(AO\), и \(OB\) перпендикулярны прямой \(a\), то и отрезок \(AB\) будет перпендикулярен \(a\). Следовательно, доказано, что \(AB \perp a\).