ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 11.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости параллелограмма \(ABCD\), \(MD \perp CD\). Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.

Дано: \( MA \perp \text{плоскости } ABCD \), \( MD \perp CD \).

Так как \( MA \perp \text{плоскости } ABCD \), то \( MA \perp AB \) и \( MA \perp BC \).

Из условия \( MD \perp CD \) и \( MD \perp AB \) (так как \( MD \) лежит в плоскости, перпендикулярной \( CD \) и перпендикулярной \( MA \)).

Следовательно, \( CD \perp AB \), значит угол между сторонами \( AB \) и \( BC \) прямой.

Таким образом, четырёхугольник \( ABCD \) — прямоугольник.

Дано, что отрезок \( MA \) перпендикулярен плоскости \( ABCD \). Это означает, что \( MA \) образует прямой угол со всеми прямыми, лежащими в плоскости \( ABCD \) и проходящими через точку \( A \). В частности, \( MA \perp AB \) и \( MA \perp AD \). Таким образом, вектор \( MA \) является нормалью к плоскости \( ABCD \).

Также известно, что \( MD \perp CD \). Поскольку \( MD \) принадлежит пространству и перпендикулярен линии \( CD \), расположенной в плоскости \( ABCD \), а \( MA \) перпендикулярен всей плоскости, то \( MD \) лежит в плоскости, перпендикулярной \( CD \) и одновременно перпендикулярен \( MA \). Это указывает на то, что \( MD \) направлен так, что образует прямой угол с \( CD \), и при этом \( MD \perp AB \).

Из этих условий следует, что стороны \( AB \) и \( CD \) взаимно перпендикулярны, так как \( MD \perp CD \) и \( MD \perp AB \), а \( MD \) не является нулевым вектором. Значит, угол между сторонами \( AB \) и \( BC \) равен \( 90^\circ \). Аналогично, остальные углы четырёхугольника \( ABCD \) также являются прямыми, что и определяет его как прямоугольник. Таким образом, благодаря перпендикулярности \( MA \) к плоскости и \( MD \) к стороне \( CD \), доказано, что \( ABCD \) — прямоугольник.