ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\) (рис. 12.5).

Укажите угол между:

1) прямой \(AB_1\) и плоскостью \(AB_1C\);

2) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC_1\);

3) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\);

4) прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC_1\);

5) прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\).

1) Угол между \(AB_1\) и плоскостью \(AB_1C\) равен углу между \(AB_1\) и её проекцией на плоскость. Проекция — отрезок \(AB\). Угол между \(AB_1\) и \(AB\) — \(45^\circ\).

2) Угол между \(AC_1\) и плоскостью \(ABC_1\) равен углу между \(AC_1\) и её проекцией \(AC\). Угол между \(AC_1\) и \(AC\) — \(45^\circ\).

3) Угол между \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\) равен углу между \(AC_1\) и перпендикуляром к плоскости \(CDD_1\). Вектор нормали к \(CDD_1\) параллелен \(DC_1\), который перпендикулярен \(AC_1\), значит угол \(90^\circ\).

4) Угол между \(OA_1\) и плоскостью \(ABC_1\) равен углу между \(OA_1\) и её проекцией на плоскость. Центр \(O\) — середина \(ABCD\), проекция \(OA_1\) на плоскость — вектор \(OA\). Угол между \(OA_1\) и \(OA\) — \(45^\circ\).

5) Угол между \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) равен углу между \(AC\) и её проекцией на плоскость. Проекция \(AC\) на \(ADD_1\) совпадает с \(AD\). Угол между \(AC\) и \(AD\) — \(90^\circ\).

1) Рассмотрим угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(AB_1C\). Прямая \(AB_1\) соединяет вершину \(A\) основания куба с вершиной \(B_1\) верхней грани. Плоскость \(AB_1C\) содержит точки \(A\), \(B_1\) и \(C\). Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно найти угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Проекция прямой \(AB_1\) на плоскость \(AB_1C\) — это отрезок \(AB\), так как точка \(B\) лежит в плоскости, а \(B_1\) — над ней. Вектор \(AB_1\) направлен по диагонали куба, а вектор \(AB\) — по ребру основания. Угол между ними равен углу между диагональю ребра и ребром, который равен \(45^\circ\).

2) Для угла между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC_1\) аналогично находим проекцию прямой на плоскость. Прямая \(AC_1\) соединяет вершину \(A\) основания и вершину \(C_1\) верхней грани, а плоскость \(ABC_1\) содержит точки \(A\), \(B\) и \(C_1\). Проекция \(AC_1\) на плоскость — отрезок \(AC\), так как \(C\) принадлежит основанию. Угол между векторами \(AC_1\) и \(AC\) равен углу между диагональю ребра и диагональю основания, что равно \(45^\circ\).

3) При нахождении угла между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\) необходимо рассмотреть вектор нормали к плоскости \(CDD_1\). Плоскость задаётся точками \(C\), \(D\), \(D_1\). Вектор нормали можно найти как векторное произведение векторов \(CD\) и \(CD_1\). Вектор \(CD\) лежит в основании, а \(CD_1\) — вертикальное ребро куба. Вектор нормали будет направлен перпендикулярно основанию и ребру. Прямая \(AC_1\) направлена по диагонали куба, которая перпендикулярна нормали плоскости, значит угол между прямой и плоскостью равен \(90^\circ\).

4) Для угла между прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC_1\) точка \(O\) — центр грани \(ABCD\), то есть середина квадрата основания. Прямая \(OA_1\) соединяет центр основания и вершину \(A_1\) верхней грани. Плоскость \(ABC_1\) содержит вершины \(A\), \(B\), \(C_1\). Проекция \(OA_1\) на плоскость — вектор \(OA\), так как \(A\) лежит в плоскости. Угол между векторами \(OA_1\) и \(OA\) равен углу между диагональю ребра и его проекцией, что составляет \(45^\circ\).

5) Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) определяется через проекцию прямой на плоскость. Прямая \(AC\) — диагональ основания куба, плоскость \(ADD_1\) содержит точки \(A\), \(D\), \(D_1\). Проекция \(AC\) на плоскость совпадает с отрезком \(AD\), так как \(AD\) лежит в плоскости. Векторы \(AC\) и \(AD\) перпендикулярны, следовательно угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) равен \(90^\circ\).