ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 12.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки \(D\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(DA\) и \(DB\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(30^\circ\). Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(120^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(DA = 2\) см.

Дано: углы наклонных с плоскостью равны 30°, угол между проекциями 120°, длина наклонной DA = 2 см.

В треугольнике DАH \( \cos 30^\circ = \frac{AH}{DA} \), значит \( AH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см. Аналогично \( BH = \sqrt{3} \) см.

В треугольнике AHB по теореме косинусов: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 — 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos 120^\circ \).

Подставляем: \( AB^2 = 3 + 3 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 6 + 3 = 9 \).

Следовательно, \( AB = 3 \) см.

Даны две наклонные DA и DB, образующие с плоскостью угол 30°. Это значит, что каждая наклонная поднимается над плоскостью под углом 30°, и проекции точек A и B на плоскость находятся на расстоянии, которое нужно найти. Длина наклонной DA равна 2 см, и угол между проекциями наклонных на плоскость равен 120°. Чтобы найти расстояние между основаниями наклонных, сначала определим длины проекций наклонных на плоскость.

Проекция наклонной DA на плоскость — отрезок AH, где H — проекция точки A на плоскость. По определению косинуса угла между наклонной и плоскостью имеем \( \cos 30^\circ = \frac{AH}{DA} \). Подставляя известные значения, получаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AH}{2} \), откуда \( AH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см. Аналогично для наклонной DB проекция BH равна \( \sqrt{3} \) см, так как угол и длина наклонной одинаковы.

Теперь рассмотрим треугольник AHB, лежащий в плоскости. В нем стороны AH и BH равны \( \sqrt{3} \) см, а угол между ними 120°. По теореме косинусов длина основания AB вычисляется по формуле \( AB^2 = AH^2 + BH^2 — 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos 120^\circ \). Подставляем значения: \( AB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 + 3 + 3 = 9 \). Таким образом, \( AB = \sqrt{9} = 3 \) см — это искомое расстояние между основаниями наклонных.